椭圆函数积分

从2016年Abel奖说起

费马大定理证明的前前后后...

当地时间3月15日，挪威自然科学与文学院宣布将2016年阿贝尔奖(Abel Prize) 授予牛津大学的安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)教授，以表彰他在1994年成功证明了困扰数学家三百多年的费马大定理，开启数论新纪元。虽然怀尔斯因超过40岁而未获得菲尔茨奖，但1998年国际数学联盟为他颁发了一个特殊制作的菲尔兹奖银质奖章。

Andrew Wiles

什么是费马大定理？

相信很多人都听说过这个故事：费马在读书（丢番图的《算术》拉丁文的法文译本）时，曾在书（第11卷第8命题）旁写道：“将一个立方数分成两个不同的立方数之和，或一个四次方幂分成两个不同的四次方幂之和，或者一般地将一个高于二次的方幂分成两个不同数的同次方幂数之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”费马大定理用数学语言表述是当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n没有正整数解。就是这个“地方太小，写不下”，300年来吸引无数的数学家，却仍不得其解。

但1986年事情出现了转折，人们发现这个三百年都没解决的难题可以通过椭圆曲线和模形式重新进行数学表述，怀尔斯正好擅长这两个领域。最终，经过七年艰苦卓绝的研究，以及在剑桥公布答案后用一年时间修正错误，怀尔斯终于证明了费马大定理。

提到椭圆曲线和模形式，就不得不提椭圆积分。现代数学将椭圆积分定义为：可以表达为如下形式的任何函数f 的积分

其中R是其两个参数的有理函数，P是一个无重根的3或4阶多项式的平方根，而c是一个常数。通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P有重根的时候，或者是R(x，y)没有y的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分，即第一、第二和第三类的椭圆积分。

椭圆积分最初用于解决与椭圆弧长有关的问题。GuilioFagnano和欧拉是最早的研究者。在欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中，勒让德是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家，他是椭圆积分理论奠基人之一。1823年，他曾对费马大定理中n=5的情形，即方程x^5+y^5=z^5没有整数解，提出了一个完满的证明。但他未能像阿贝尔和C.G.J.雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数，即椭圆函数。

椭圆函数是定义在有限复平面上亚纯的双周期函数。所谓亚纯函数，是指在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数（或者，在复分析中，复平面的开集D上的亚纯函数是一个在D上除去若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点）。所谓双周期函数是指有两个基本周期的单复变函数，即存在ω1，ω2两个非0复数，而对任意整数n，m，有f（z+nω1+mω2）=f（z），于是{nω1+mω2 | n,m为整数} 构成 f（z）的全部周期。

阿贝尔在对椭圆积分进行求解无果的情况下，转变思想，与三角函数进行类比，从反函数的角度入手，由椭圆积分诱导出椭圆函数的概念。此外，阿贝尔对R的阶大于4的椭圆函数进行积分，提出了比椭圆积分更广泛的阿贝尔积分，同时推广了欧拉的椭圆积分加法定理，得到了现在被称为“阿贝尔大定理”的加法定理，从而创建了定性分析阿贝尔积分的关键性定理.。后来，在阿贝尔反演思想的影响下，雅可比、魏尔斯特拉斯、黎曼等人在椭圆函数论上给出了更一般、简捷的椭圆函数理论形式，并且反演了超椭圆积分，推动了近代复分析函数领域的成型与发展，由此影响了19世纪特殊函数论的发展，对复变函数论，甚至是近代代数几何学的发展产生深远影响。

阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了椭圆函数论之外，他最著名的一个结果是首次完整给出了五次及以上的一般代数方程没有一般形式的代数解的证明，即著名的Abel定理。这个问题是他那时最著名的难题之一，悬疑250余载。此外，他还研究了更广的一类代数方程，后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他，后人称交换群为阿贝尔群。

尽管阿贝尔成就极高，却在生前没有得到认可，他的生活非常贫困，死时只有26岁。在他死后，各种荣誉和褒奖接踵而来。死后两天，柏林大学聘请他做数学教授的消息才传到家中，1830年他和卡尔·雅可比共同获得法国科学院大奖。如今，挪威克朗上还印有阿贝尔的头像。