一道题领悟函数方程与图象变换

高一的孩子们要期中考试了，有学习好的童鞋问了下面这样一道题.的确有一定难度.我们来作一个全面的分析.为研究函...



高一的孩子们快要期中考试了，练好下面这道题，函数方程和图象变化就过关了.



的确有一定难度.我们来作一个全面的分析.

为研究函数在[-4,-2)上的最小值，我们需要研究函数在这一区间上的解析式.

题中没有直接给出，而是通过给定函数在[0,2)上的解析式和一个函数方程间接给出.

关键的问题在于如何正确、清晰地理解和运用函数方程.



从形式上看，我们可以这样通俗地理解它：自变量每增加2个单位，函数值会翻倍.

既然题中给出函数在[0,2)上的解析式，按照上面的理解，我们能够求出函数在[-2,0)上的解析式，更进一步，我们能够求出函数在[-4,-2)上的解析式.

注意到函数f(x)在[0,2）上为分段函数，可以预见函数在[-4,-2)上也为分段函数.

先求函数在[-4,-3)上的解析式.



这种求解析式的方法，称为间接法，我也把它戏称为“曲线救国”.

再来求函数在[-3,-2)上的解析式.



两个区间上求解解析式的方法一样，都是从所求区间按照函数方程的形式变换到已知区间，然后间接求解.

现在，我们对函数的解析式一目了然了.



因为函数为分段函数，为确定函数的最小值，我们采用数形结合的思想，尝试着画出函数的草图.

第1段函数为二次函数，开口向上，与x轴的交点为(-4,0),(-3,0)我们很容易得到下面的函数图象.



第2段函数的图象较难获得，我们通过基本函数变换的手段得到它.

我们依次画出如下函数的图象.



先画以1/2为底的指数函数.



再画y=(1/2)^(IxI)的图象.把x换做IxI的变换规律是：y轴右侧的图象保持不变，左侧擦去，然后把y轴右侧图象关于y轴对称过来.



接着画y=(1/2)^(Ix+5/2I)的图象.由x换做x+5/2的变换规律是：把上述函数图象整体向左平移5/2个单位.



进一步，我们画y=(1/4)*(1/2)^Ix+5/2I的图象.这个变换比较容易，只需要把上图横坐标不变，纵坐标缩小为原来的1/4即可.



最后，我们把上图关于x轴作对称变换，就得到了y=-(1/4)*(1/2)^Ix+5/2I的图象啦.



累死我了，终于画出了目标函数的草图.我们把定义域在[-3，-2）对应的部分图象画成实线.

下面，我们把两段函数的图象画在同一个坐标系中，判断在何处取得最小值，以及最小值为多少.



由图象可作下面的分析.



下面解不等式.



解题体会：

1.要掌握由函数方程求解析式的常规步骤；

2.要熟悉函数图象的变换规律；

3.数形结合思想常用于解选择题的难题.温馨提示：要获取微信公众号“高考数学左老师”的精华内容，可以回复“关键词”，你会获得一份关键词列表.根据这份列表，回复对应的关键词，就可获得内容.

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