数学简史:业余数学家之王

 

对此命题我有一个非常美妙的证明,可惜此处的空白太小,写不下来。...



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《数学简史》,蔡天新著,中信出版社
作者:蔡天新

编辑:婉珺

“对此命题我有一个非常美妙的证明,可惜此处的空白太小,写不下来。”

——皮埃尔·德·费尔马

从文艺复兴时期的艺术家身上我们不难看出,绘画作为空间艺术的代表与几何学有着不可分割的联系,正如古希腊数学家毕达哥拉斯及其弟子们已意识到,代数或算术与时间艺术的代表——音乐有着密切的联系。

一个有趣的现象是,直到17世纪后期,欧洲才诞生了第一批伟大的音乐家,如意大利的维瓦尔第(A.Vivaldi,1678—1741)、德国的巴赫(J.S.Bach,1685—1750)和英国的亨德尔(G.F.Handel,德裔,1685—1759),他们比那些绘画或雕塑大师们的出现时间晚得多。同样,在微积分诞生之前,唯有几何学在数学中占据了重要地位,它的核心当然是欧几里得几何。

以往,欧洲的数学家们大多自称为几何学家,无论是欧几里得的名言“在几何学中没有王者之路”,还是立在雅典柏拉图学园门口的牌子“不懂几何学者请勿入内”,似乎都昭示了这一点。甚至帕斯卡尔在《思想录》中也有这样的自谦之词,“凡是几何学家只要有良好的洞见力,就会是敏感的;而敏感的人若能把自己的洞见力运用到几何学原则上去,也会成为几何学家。”

随着笛卡尔坐标系的建立,用代数方法研究几何学的桥梁得以构建,作为附庸物的代数学的面貌也有了改观。可是,那时候代数学的工作重心依然围绕着解方程问题,代数学(与几何学一样)的真正革命性的变革要等到19世纪才会来临。如果说率先有所突破,这个领域就是数论——一个专注于自然数或整数的性质及其相互关系,时常游走于代数的宅前院后的最古老的数学分支。那主要是因为一个隐名埋姓的业余爱好者的兴趣和努力,他便是法国南方城市图卢兹的一个文职官员——皮埃尔·德·费尔马(Pierrede Fermat,1601—1665)。
皮埃尔·德·费尔马




专心于业余爱好,让后来的数学家们忙碌了好几个世纪



作为一个远离首都巴黎的外省人,费尔马从事的司法事务占据了他白天的时间,而夜晚和假日几乎全被他用来研究数学了。部分原因是那个时候的法国反对法官们参加社交活动,理由是朋友和熟人可能有一天会被法庭传唤,与当地居民过从甚密会导致偏袒。正是由于远离图卢兹的上流社会交际圈,费尔马才得以专心于他的业余爱好。他几乎把每一个夜晚都奉献给了数学,完成了许多极其重要的发现,对数论问题尤为感兴趣,提出了许多命题或猜想,使得后来的数学家们忙碌了好几个世纪。

费尔马所证明的完整结论并不多,其中著名的有:每一个奇素数都可用且仅可用一种方式表示成两个平方数之差;每一个形如4n+1的奇素数,作为整数边长的直角三角形的斜边,仅有一次机会,其平方有两次机会,其立方有三次机会,等等。例如:



更多的时候,费尔马只是给出(以通信或以出竞赛题的方式)定理的结论而不给出证明。例如,整数边长的直角三角形的面积不会是某一个整数的平方数;每一个自然数可表示成4个(或少于4个)平方数之和。值得一提的是,这个结论的推广就是著名的“华林问题”,有关华林问题的研究为我国数学家华罗庚(1910—1985)带来了最初的国际声誉,华罗庚对数学的贡献涉及解析数论、代数学、多复变函数论、数值分析等领域。

费尔马提出的上述两个命题后来均由法国数学家拉格朗日给出证明,瑞士数学家欧拉对费尔马问题花费了更多的精力(两个人都生活在晚于费尔马的18世纪)。
欧拉肖像


事实上,在欧拉漫长的数学生涯中,他几乎对费尔马思考的每一个数学问题都做了深入细致的研究。例如,费尔马曾猜测,对每一个非负整数n,



均为素数(“费尔马数”)。对于0≤n≤4,费尔马做了验证。欧拉却发现,F5不是素数,不仅如此,他还找到F5的一个素因子641。事实上,从那以后,人们再也没有发现新的费尔马数。

又如,1740年费尔马在给友人的信中提出了这样一个整除的命题:如果p是一个素数,a是任一与p互素的整数,则ap–1–1可被p整除。将近100年以后,欧拉不仅给出了这个命题的证明,而且把它推广到任意正整数的情形,由此他引进了后来被称作欧拉函数的φ(n),即不超过n且与n互素的正整数个数。例如,φ(1)=φ(2)=1,φ(3)=φ(4)=φ(6)=2,φ(5)=4,…欧拉证明了,若a和n互素(没有相同的公因子),那么aφ(n)–1可被n整除。

上述结果及其推广分别被称为“费尔马小定理”和“欧拉定理”。有意思的是,现代社会所产生的信息安全问题使得公钥加密算法成为密码学的强有力工具,欧拉定理在其中发挥了重要作用。不过,对于下列被称为“费尔马大定理”的猜想(1637),欧拉却无能为力。这个定理是这样说的:当n≥3时,方程



无正整数解。当n=2时,它就是毕达哥拉斯定理的数学表达式,有无穷多组正整数解,且可以用一个清晰的公式来表达。n=4的证明是费尔马自己做出的,欧拉只给出了n=3(比n=4难)的证明,且并不完整。

在此后的300多年间,这个问题吸引了无数聪颖智慧的头脑。可是,直到20世纪末,费尔马大定理才由客居美国的英国数学家怀尔斯给出最后的证明,这条消息连同费尔马的肖像一起登上了《纽约时报》的头版头条。事实上,怀尔斯证明的是以两位日本数学家名字命名的谷山—志村猜想的一部分,该猜想揭示了椭圆曲线与模形式之间的关系,前者是具有深刻算术性质的几何对象,后者是来源于分析领域的高度周期性的函数。在通向证明费尔马定理的路途中,还有许多数学家做出了重要贡献。

特别值得一提的是,德国数学家库默尔(E.E.Kummer,1810—1893)建立了理想数理论,由此奠定了代数数论这门新学科的基础,这或许比费尔马大定理更重要。库默尔的岳父是作曲家门德尔松(F.Mendelssohn,1809—1847)的堂兄、数学家狄利克雷的妻舅。

有意思的是,费尔马是在古希腊数学家丢番图的著作《算术》一书的拉丁文版本空白处写下他的评注(猜想)的。在这条评注的后面,这位喜欢恶作剧的遁世者又草草地写下一个附加的注中之注,“对此命题我有一个非常美妙的证明,可惜此处的空白太小,写不下来”。
1670版的《算术》中包含了费尔马大定理(Observatio Domini Petri de Fermat 那部分)。



数论之外,其他领域也广泛涉猎



在数论以外,费尔马也做出了许多重要贡献。例如,光学中有所谓的费尔马原理,即在两点之间传播的光线所取路径所需的时间最短,无论这路径是直的还是因为折射变弯。由此可以得出一个推论,即光在真空中以直线传播。在数学⽅⾯,费尔马独⽴于笛卡尔发现了解析⼏何的基本原理,求曲线的极⼤值和极⼩值⽅法使他被誉为微分学的创始⼈,他与帕斯卡尔的通信又创⽴了概率论。两位数学家最初讨论的其实是赌博问题,即有两个技巧相当的赌徒A和B,A若取得2点(局)或2点以上即获胜,⽽B要取得3点或3点以上才获胜,问双⽅的胜率各为多少?

费尔马是这样考虑的,他⽤a表⽰A取胜,⽤b表⽰B取胜,因为最多4局就可分出胜负,故所有可能的情形如下:

aaaa aaab abba bbab

baaa baba abab baba

abaa bbaa aabb abbb

aaba baab bbba bbbb

不难看出,A获胜的概率是11/16,B获胜的概率为5/16。

这里需要提及比概率论稍晚出现的统计学,它主要通过收集数据,利用概率论建立数学模型,进行量化分析、总结,进而做出推断和预测,为相关决策部门提供参考和依据。从物理到社会科学、人文科学,再到工商业和政府决策,都需要统计学,其最主要的应用是在保险业、流行病学、人口普查和民意测验方面。如今,统计学已从数学中独立出来,成为继计算机之后数学派生的又一级学科。

统计学的⿐祖是亚⾥⼠多德,但那时统计学尚未成为真正的学科。正如概率论源于赌徒问题,统计学起源于对死亡率的分析。1666年的伦敦大火既烧毁了圣保罗大教堂等建筑,也消灭了万恶的鼠疫。服装店老板格朗特(J.Graunt,1620—1674)失了业,在此前后他热衷于研究130年以来伦敦的死亡记录,他通过两个生存率(6岁和76岁)预测出随后各年活到其他年纪的人数比例及其预期寿命。1693年,英国天文学家哈雷(E.Halley,1656—1742)也对德国布雷斯劳(现为波兰弗罗茨瓦夫)的死亡率进行了统计研究。

最后,我们回到费尔马大定理,它曾被比喻成“一只会下金蛋的鸡”。当怀尔斯宣布攻克此定理时,数学界欢呼之余又有不少人叹息,担心日后再也没有推动数论发展的问题了。可是没过几年,便有“abc猜想”显露出重要性,这是与整数的两大运算——加法和乘法相关的一个不等式。设n为自然数,它的根是其所有不同素因子的乘积,记为rad(n)。例如,rad(12)=6。1985年,法国数学家奥斯达利(M.Oesterlé,1954—)和英国数学家马瑟(D.Masser,1948—)提出了abc猜想,其弱形式为:对满足a+b=c,(a,b)=1的任意正整数a、b、c,恒有



abc猜想或其弱形式问题的解决可推动数论中一批重要问题的解决,同时,一些著名的定理和猜想也可以轻松得到证明,后者囊括了费尔马大定理等4项菲尔兹奖成果。以费尔马大定理为例:反设对某个n≥3,存在正整数x、y、z,使得xn+yn=zn,取a=xn,b=yn,c=zn,由abc弱形式可知,zn


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