你要的数列放缩技术

有的数列无法通过常规途径求和，在证明这类数列的和式与不等式结合问题时困难较大.比如下面这道.为有利于求和，我...



有的数列无法通过常规途径求和，在证明这类数列的和式与不等式结合问题时困难较大.

比如下面这道.



为有利于求和，我们常常需要对数列的通项进行放大或者缩小，使得放缩之后的数列能够用常规方法进行求和.

放缩的方向包含两层意思：

1.放缩成什么形式？

2.放大呢还是缩小呢？

第2个问题容易回答，看题目要求即可.

第1个问题这样回答：高中阶段，数列放缩主要有两个方向.

1.朝等比数列去放缩，即把数列放缩为等比数列.

看这样一个栗子.



从解答过程能够看出，本题需要放大，原数列无法求和，放大之后为等比数列，顺利实现求和.

2.朝裂项相消去放缩，即把数列放缩为能够采用裂项相消法求和的形式.

看这个栗子.



数列无法求和，需要放缩，而且需要放大.



注意：为保证n-1有意义，n从2开始取值.



把数列放大或者缩小，是为了有利于求和，有利于靠近所证的结论.

拿简单的问题打比方.假设你要证明2 1/4，说明放的依然过大.但是越来越靠近了.

我们保留前3项，从第4项开始放缩.



达到要求了吗？

经过仔细运算，37499/154350 < 1/4，终于成功了.

小结：

1.根据不等式符号决定放大还是放小；

2.常用的放缩方向：朝等比放缩和朝裂项相消法放缩；

3.放缩“度”的调节方法：不同形式放缩和保留项放缩.

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