秒解三角形面积最值三法

微信后台有朋友留言问到下面这个问题.从图中我们能看到，第（1）问已经解决，用到了正弦定理和余弦定理.如何求面...



微信后台有朋友留言问到下面这个问题.



从图中我们能看到，第（1）问已经解决，用到了正弦定理和余弦定理.

如何求面积的最大值呢？

从面积公式出发，因为已知角C，所以我们选择下面这个公式求解.



求面积的最大值，就是要求ab的最大值.

在高中阶段，求最值的方法主要有两个：一是函数法，二是基本不等式法.

在平时解题中，我们可以尝试一题多解，然后总结哪类解法适合哪类题型.

所谓函数法，就是要把目标值表示为某个变量的函数，然后求这个函数的最值或值域.

选择哪个变量为自变量呢？

先分析已知条件：已知一个角，外接圆半径，则这个角的对边也是可求的.



受以上思路的启发，a，b边也能用含有角A或者角B的式子来表示.A角和B角是相互制约的（和为定值），且无特殊性，我们任意选择其中一个作为自变量即可.



下面要考虑两个问题：

1. 既然选择A为自变量，那么定义域是什么？
2. 把ab表示为A的函数，这个三角函数化简的方向是什么？

先看定义域.



注意看清楚题目的要求.比如有的题目要求三角形为锐角三角形，则对角的约束条件要加强一些.

再说化简方向.

中学阶段，三角函数的化简方向主要有两种：



本题根据解析式特点，应该属于第（1）种情况.



然后结合定义域范围，求函数的最大值和面积的最大值.



如果我们把ab整体考虑的话，可以试试余弦定理.



为求得ab的最值，需要把平方项进行转化，自然联想到基本不等式.



这种解法貌似比方法1要简便的多.

分析本题条件，我们知道：c边长是确定的，角C是确定的，三角形外接圆的半径是确定的.

我们把三角形的外接圆画出来.



这样一个事实清晰地呈现出来：AB是一条定长的弦，劣弧AB所对的圆周角为60度，点C在优弧ACB上运动.

要使得三角形面积最大，就要使AB边的高线最长.

显然，当C点运动到高线通过圆心时，高线最长.



此时CA=CB，又角C为60度，所以三角形ABC为等边三角形.即当三角形为等边三角形时面积最大.



小结：

1.函数法是处理最值问题的通法，最容易想到，但是运算量略大；

2.基本不等式法适合处理面积问题，又快又好；

3.几何法把代数和几何联系起来，不容易想到，可以开阔眼界.

如果把所求问题改为求三角形ABC周长的最大值，大家觉得哪种方法最好呢？

聪明的你，不妨动笔一试.

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