X型呢，还是Y型

直线方程的设法，关乎运算量大小，聪明的你，要学会选择....



微信昵称为“Vick”的朋友问到直线方程的设法，题目如下.



他的问题是：

这道题用X型的直线方程，计算量相当庞大；而参考答案用y型直线似乎计算量就小了很多，如何判断用X型直线快还是Y型直线快呢？

一定有读者朋友不知道他说的X型和Y型直线指的是什么？

以上图中的题目为栗子，过点（1,0）的直线怎么设？



众所周知，圆锥曲线解答题的运算量庞大，有思路而解不出的情况比比皆是.

讲圆锥综合题就要花很大精力去讲怎样合理运算，怎样优化运算.

容易求得第一问的答案.



下面我们用两种形式的直线方程去解决第（2）问.

先用Y型直线去做.

已知直线BC过定点(1,0)，设Y型直线要考虑斜率是否存在的问题.

先考虑斜率存在的情况.



以上过程都属于常规套路，即所谓的“联立方程、消元、判别式、韦达定理”.本题中，因为定点(1,0)在椭圆内部，所以直线与椭圆一定相交，故省去了判别式的要求.

为研究M点坐标，需要写出直线AB的方程；为写出直线AB的方程，需要写出点B的坐标.

是不是一定要把点B的坐标算出了呢？

我们注意到点B相比点C，并无特殊性，为简化运算，依然采用“设而不求”的思路.



如何求N点坐标呢？

我们发现求解N点坐标的过程和求M点坐标的过程完全一样，只需把B点的横坐标换成C点横坐标就行了.



以M,N为直径的圆的方程如何得到呢？

显然，圆心是MN的中点，半径是MN长度的一半.

下面省略推导过程，我们直接给出一般化的结论.



故本题中，以MN为直径的圆的方程为



下面分别计算上式中两个含x1,x2的部分.





将以上两个结果代入圆方程得：



显然，圆的方程随k的变化而变化.

为研究圆过定点问题，就要排除k的干扰，即令k的系数为0即可.



本题还没有解完.



童鞋们觉得辛苦吗？

解圆锥曲线综合题只有两种情况，要么辛苦，要么心苦.

前者属于有思路，有方法，但是运算量大；后者是没思路，没方法，动不了笔.亲爱的们，你们喜欢哪种呢？

下面，我们采用X型的直线来处理，看看运算量是否能够小一些.



以上是处理此类问题的常规动作.



分别计算上式中y的系数和常数项.





将上面的两个结果代入圆的方程中得：



为研究圆过定点的问题，令参数m的系数为0即可.



解题解完了吗？

解完了.

咦，不用讨论直线垂直x轴的情况吗？

这就是X型直线的好处.



回答这位童鞋的问题.

1.如果给定直线的纵截距，一般设直线的Y型；如果给定直线的横截距，一般设直线的X型；

2.Y型不能表示垂直于x轴的直线，X型不能表示平行于y轴的直线，解题时要根据题目的具体情况选择能避开讨论的直线形式.

两点提高运算速度的经验：

1.学会使用“同理”简化运算;

2.熟记以线段MN为直径的圆的方程.

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