前面我们讲分享过虚数i和无理数π，今天我们对另一个数进行分析．虽然它的知名度没有前面两个高，但在数学和物理学...



前面我们讲分享过虚数i和无理数π，今天我们对另一个数进行分析．虽然它的知名度没有前面两个高，但在数学和物理学

的应用是同样的广泛．

e的发现：复利问题

在18世纪初，数学大师莱昂哈德．欧拉（Leonard Euler）发现了这个自然常数e（又称欧拉数）。

当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题。

现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在这种情况下，一年后的收益为（1+50%）^2=2.25倍。

而假设银行每月提供8.3%（100%的1/12）复利息，或每周1.9%（100%的1/52）复利息。在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1+1/12）^12 = 2.61倍和（1 1/52）^52 = 2.69倍。

根据这个规律，可以得到一条通式。如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数1/n。一年后的收益公式为（1+1/n）^n。例如，如果利息每年复利5次，那收益则为初始投资的（1+1/5）^5 = 2.49倍。

那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1+1/n）^n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。

原来，当n趋于无穷大时，（1+1/n）^n并非也变得无穷大，而是等于2.718281828459……这是一个类似于圆周率的无限不循环小数（即无理数），用字母e表示，被称为自然常数。

纳皮尔是天文学家、数学家,在计算轨道数据时,也被浩瀚的计算量所折磨。

看起来在数学实践中,最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方,计算起来特别费事又伤脑筋,于是我开始构思

有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。但纳皮尔不是般人,不想像民工一样苦逼的重复劳动,于是用了20年的时间,进

行了数百万次的计算,发明了对数和对数表,堪称学霸中的战斗机。拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而延长了天文

学家的寿命”伽利略说过“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”

它为什么叫自然常数，而不是其它常数？

　　这个问题我想也是大家思考的问题，e＝2.718281828459……是自然律一种量的表达．自然律的表达是＂螺线＂，

螺线一般有五种形式：１对数螺线２阿基米德螺线３连锁螺线４双曲螺线５回旋螺线

等角螺线或对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线可以写为

对角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布．伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去．

鹦鹉螺的贝壳像对数螺线

菊的种子排列成对数螺线

鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物

昆虫以对数螺线的方式接近光源

蜘蛛网的构造与对数螺线相似

旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。

低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线

英国蓍名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到:旋涡形或螺线开形逐渐缩小到它们的中心,都是美的形状。事实上,我们

也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的"精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样

—种螺线的形式中得到满足呢?这难道不意味着我们的精神,我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构

对应关系吗?

我们知道,作为生命现象的基础物质蛋白质,在生命物体内参与着生命过程的整个工作,它的功能所以这样复杂

高效和奥秘无穷,是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的,决定遗传的物质—核酸结构也是

螺旋状的。古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器,当它的琴弦在风中振动时,能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡

流尾迹效应”。让人深思的是,人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的

风鸣琴吗?还有我们的指纹、发旋等等,这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应,也就是“内在”与“外在”和谐的自然

基础．我想这就是为什么称之为自然常数的原因．

数学和物理学中的应用

自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有

个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。

此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两

个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常

数。这需要使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为

100/37，所以a的b次方的最大值约为“94740617+167818+32.652”。

e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。因为e=2.7182818284... ，极为接近循环小数2.71828(1828循

环)，那就把循环小数化为分数271801/99990，所以可以用271801/99990表示为e最接近的有理数约率，精确度高达

99.9999999(7个9)% 。

e对于自然数的特殊意义

所有大于2的2n形式的偶数存在以为中心的共轭奇数组，每一组的和均为2n,而且至少存在一组是共轭素数

可以说

是素数的中心轴，

只是奇数的中心轴。

改变世界的二十个公式之一：欧拉公式

这个公式将我们最常见的常数０、1、i、e、π集合在一起，可以说是最完美的公式，最伟大的公式！

伟大理由：

1、自然数的“e”含于其中。 自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？

2、最重要的常数 π 含于其中。 世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗？ (还有π和e是两个最重要的无理数！)

3、最重要的运算符号 + 含于其中。 之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆逆运算，乘法是累计的加法……

4、最重要的关系符号 = 含于其中。 从你一开始学算术，最先遇见它，相信你也会同意这句话。

5、最重要的两个元在里面。零元0 ，单位1 ，是构造群，环，域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书，你就会体会到它的重要性。

6、最重要的虚单位 i 也在其中。 虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，而在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。 之所以说她美，是因为这个公式的精简。她没有多余的字符，却联系着几乎所有的数学知识。 有了加号，可以得到其余运算符号； 有了0，1，就可以得到其他的数字； 有了 π 就有了圆函数，也就是三角函数； 有了 i 就有了虚数，平面向量与其对应，也就有了哈密尔的 4 元数，现实的空间与其对应； 有了 e 就有了微积分，就有了和工业革命时期相适宜的数学。

下期我们分享这个公式如何理解，应用及脑洞，分析它的伟大之处，欢迎订阅＂学霸数学＂！

欢迎关注、分享并给我一个赞！

    关注 学霸数学