定点问题有结论

定点问题，有通法，也有捷径.路线不同，计算量相差很大.今天有个小结论你要不要？...



有学生朋友问到下面这道题.

容易求得椭圆的方程为:



第(2)问是定点问题.

思路1：联立直线MN的方程与椭圆方程，采用“设而不求”的方法，用韦达定理写出两横坐标（或纵坐标）的积与和，然后代入斜率乘积的关系式，研究k和m的关系，最后再研究直线过定点的问题.

我们来实施这个办法.



做好了数据准备之后，再代入斜率关系式.



注意判别式对k和m的制约关系.

经检验，两种关系都能保证△>0.

下面根据m和k的关系，研究直线过定点问题.

思路2：联立直线AM与椭圆方程，解出M点坐标；联立直线AN与椭圆方程，解出N点坐标.最后研究直线MN过定点的问题.





求解出M点坐标之后，求N点坐标要学会“同理”，这是减少运算量的聪明办法.(前提是的确求解方法一样）



已知M,N的坐标之后，如何求定点坐标呢？

是不是一定要写出直线MN的方程呢？

仔细一看，我们发现M,N的横纵坐标正好相反，也就是说M,N两点是关于原点对称的.

故直线MN恒过定点（0,0）.

在《椭圆也有直径》一文中，我们谈到过椭圆中心的弦就是椭圆的直径.

椭圆直径有这样的规律:

若MN是椭圆的直径，A是椭圆上任意一点（不与M,N重合），若直线AM和AN的斜率都存在，则k(AM)*k(AN)为定值，这个定值为-b^2/a^2(焦点在x轴上的椭圆）或-a^2/b^2(焦点在y轴上的椭圆）.

所以，本题中，直线过定点（0,0）也是显然的.

微信昵称为“张敏”的读者朋友提出了一个更为一般化的结论：

从椭圆左顶点A出发的两条弦分别交椭圆于M,N两点，若直线AM和直线AN的斜率乘积为定值，则MN过x轴上一定点；若MN过x轴上一定点，则直线AM和直线AN的斜率乘积为定值.圆锥曲线中，这样的结论还有很多.我们不必都记住，有点印象即可，重在了解来龙去脉、会推导.推荐阅读：一道题抓住函数综合题的难点

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