红包统计学：为什么有些人赚得多？

如果你有一台智能手机，如果你在上面装了某个软件，那么你今年的春节很可能是在下面这样的场景中度过的：这也使得众...



如果你有一台智能手机，如果你在上面装了某个软件，那么你今年的春节很可能是在下面这样的场景中度过的：







这也使得众多的网友发出了下面的感慨：



而最近几天不少群里面又流行起来一种“红包接力”的玩法，大概的规则是：群里面先由一人发一个红包，然后大家开始抢，其中金额最大的那个人继续发新一轮的红包，之后不断往复循环。

这时候大家或许就会问了，一直这么玩下去会有什么结果呢？是“闷声赚大钱”了，还是“错过几个亿”了？是最终实现“共同富裕”了，还是变成“寡头垄断”了？要回答这些问题，我们不妨用统计模拟的方法来做一些随机实验，得到的结果或许会让你大跌眼镜呢。

红包初级模型——切面条法

要进行模拟实验，就需要设定一个红包金额的分配机制。但由于微信红包的算法并没有公开，所以我们只好从观察到的现象出发，“反推”出一个模型，让它尽量符合观察结果。其实这就是科学方法的精髓：我们也许永远不可能知道宇宙的“源代码”，但我们能为宇宙建立一个足够好用的模型。

微信的红包是一个个抢的，所以很容易给人以这样的印象：红包一堆钱摆在那里，第一个人闭眼抓一把，第二个人再抓一把，等等。但是倘若果真如此，后来的人总体而言就要吃亏。这样既不公平，也不满足现实中的观察。

所以，更合理的做法是，一开始就把所有的钱一次性分成几个包，每人抓一个，每个包都是等同的，里面的钱数期望都是总金额的几分之一。满足这个要求的做法当然不止一个，但我们先考虑最符合直觉的办法——切面条。

假如你有一根面条要随机分成5根，怎么分？闭上眼睛剁4刀就行了。换成数学语言，就是在一条线段上随机扔4个点，分成5段。

现在你要把红包分成5份，好办，拿出你刚才剁的面条，每一根面条有多长，对应的红包就塞多少钱。

（当然，面条是连续的，而红包是离散的——每个包的钱数都是1分钱的整数倍。但钱多的时候这点差异无关紧要，而要是有人发了个全一分钱的红包，还是暂停讨论把他踢出群比较好。）

以下就是切面条法分红包的一个实例，总金额为1元，分成5个：

0.02669467， 0.248426309，0.23745777，0.35864430，0.12877695

这贫富差距也太大了吧？如果红包总金额是100，那么领得最多的人可以得到35.86元，而最少的只有2.67元。第一名得到三分之一多的钱，最后一名不到三十分之一？其实这完全不极端。对于这种分法，我们可以数学上证明，当1块钱（或者长度为1的面条）分成n份儿的时候，

第k大的值，期望为1/n*(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+…+1/k)。（证明留作练习（被踢飞））

所以，最大值的期望为 1/n*(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+…+1)，

而最小值的期望为 1/n^2。

换言之，在n=5的时候，平均而言，五个人应该分别拿到的红包大小是：0.456666……，0.256666……，0.156666……，0.09，0.04。真是朱门酒肉臭路有冻死骨啊。

好吧，虽然这恐怕和很多人的印象相符，但毕竟也太悬殊了，能不能增加一个调节杆，让红包间的差异稍微小一点呢？

红包进阶模型——狄利克雷分布

复习一下刚才的切面条模型要点。

1 一次可以生成n个随机数，且总和为1，这样每个数乘以红包总金额就是每个人分得的钱；

2 每个随机数的期望应该均等，即n分之一，这是为了保证大家抢红包机会平等；

现在我们为它增加一个第三条：

3 有一个参数可以用来调节红包的“公平”程度。这里的公平不是指机会公平，而是说每次发红包大家实际拿到手的钱是不是相近，即金额分配的波动性是大还是小。比如100元的红包发给10个人，如果每人都是10元左右，我们认为这种分配更公平些；如果最少的才0.8元，最多的有20元，显然就有失公允了（不幸的是作者好几次碰到这种情况……）。

幸运的是，在众多的随机变量分布中，有一个“狄利克雷分布”非常适合上面列出的这些情况。狄利克雷分布本身有n个参数，但为了满足条件2，我们可以只用一个参数 α 来决定它的具体形式。α 越大，每人分得的金额比例就越倾向于平均，反之则波动性越大。

更幸运的是，我们开始提出的切面条分法，恰恰就是当α=1的时候，狄利克雷分布的最简单状态。

（想深入了解狄利克雷分布，可以参考rickjin大侠的不可不知：抢红包必！胜！诀！窍！

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本文原载于统计之都，经作者授权发表于果壳网。谢绝再次转载。如有需要请联系media@guokr.com

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