【课堂笔记 05】中点四边形

今天讲的是中点四边形的性质！...

原本打算写三角形三边关系，结果查阅资料再问问别的老师，发现主题丰富，内容繁杂，需要加以消化，过两日有把握了再更新！今天先写写今天课堂上的东西，接接地气！

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共边三角形的中位线

三角形的中位线平行且等于第三边的一半。值得注意的是，此性质中同时包含了中位线与第三边的 位置、数量 这两种关系。

当有两个三角形 共边 时，该公共边对应的两条中位线都平行且等于它的一半，因而 两条中位线平行且相等，构成平行四边形。2

中点四边形的定义

任一四边形，取各边中点，顺次联结形成四边形的 中点四边形。考虑到一对角线可将四边形分割成两个共边的三角形，如前述可知，公共边对应的两条中位线平行且相等，形成 平行四边形。了解中点四边形的是平行四边形后，可往两个方向进行探究：① 中点四边形在什么情况下变成特殊的平行四边形？② 原四边形分别为凸四边形、凹四边形及折四边形时，中点四边形的性质是否类同？

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探究一：中点四边形变式

首先，复习特殊平行四边形的判定：

• 矩形：平行四边形 + 一内角为直角；
• 菱形：平行四边形 + 一组邻边相等；
• 正方形：平行四边形 + 一内角为直角 + 一组邻边相等；

其次，根据中位线的性质，可以想到中点四边形两邻边的位置和数量关系，实际就是 原四边形对角线的位置和数量关系。

如此一来，要对中点四边形进行特殊四边形的判定，只需研究原四边形对角线的位置和数量关系！ 但是比较容易与特殊平行四边形的性质混淆，大家需要在理解的基础上加以记忆！结论如下：

• 当且仅当 AC⊥BD时，中点四边形为矩形；

• 当且仅当 AC = BD时，中点四边形为菱形；

• 当且仅当 AC = BD 且 AC⊥BD 时，中点四边形为正方形。

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探究二：原四边形变式

• 凹四边形的中点四边形

• 折四边形的中点四边形

容易看出，这些图里的中点四边形和凸四边形中的情形完全一样！

故，中点四边形一定是平行四边形，但是否为特殊的平行四边形，取决于原四边形对角线的位置（是否垂直）和数量（是否相等）关系。

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大杂烩

把四边形四边中点和两条对角线的中点 共六个中点全都联结起来！老师，我头晕~~~



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神题一道

五边形，F、G、H、I、J、K 皆为所在边中点，联结 JK 。试证明：JK = 0.25 AE 。思路很清晰：连续构造两组中位线，使得四分之一出现。首先联结 BE 取中点 M ，联结 MF ，由此，有 0.5 AE = MF。只需 JK =0.5 MF，也即 M、K、H 共线且 K 是 MH 中点。因 GHIM 是四边形 BCDE 的中点四边形，由上文讨论的性质，四边形 BCDE 是平行四边形，故其对角线互相平分，由已知 K 是对角线 GI 中点，因而，K 一定是 MH 中点，JK 为 △FMH 的中位线，JK = 0.5 MF，证毕。

（本文完结）

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