初三二次函数

知识点1、二次函数的概念案例1、（2016、上海松江区一模）下列函数中，属于二次函数的是（

）...



知识点1、二次函数的概念

案例1、（2016、上海松江区一模）下列函数中，属于二次函数的是（       ）

A、y=2x+1        B、y=（x-1）²－x²        C、y=2x²-7       D、y=-1／x²

思路导引：判断一个函数是否为二次函数，其依据就是看这个函数是否满足二次函数的一般形式，即y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）。

解析：A：符合y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，是一次函数，错误；B：整理后为y=-2x+1，符合y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，是一次函数，错误；C：=2x²-7符合y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的形式，是二次函数，正确；D：不符合二次函数的形式，不是二次函数，错误。

答案：C

点拔：本题 容易出现两类错误，一是被B中函数的表面现象所迷惑，在不化简的情况下就断定该函数是二次函数；二是机械记忆“二次函数中自变量的最高次数为2”，因而误认为D中的函数为二次函数。

变式1：（2016、浙江桐乡期末）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量)(         )

A、y=ax²+bx+c       B、y=√(x²-1）      C、y=1／x²       D、y=x²／8

答案：D  A：a=0时是一次函数，错误；B：不符合二次函数的一般形式，不是二次函数，错误；C：不符合二次函数的一般形式，不是二次函数，错误；D：符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确，故选D。



知识点2、根据实际问题列二次函数关系式

案例2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每天盈利40元。为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，则商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式为  _________。

思路导引：本题中，每天盈利y（元)与降价x（元)之间的关系是每天盈利=每件衬衫x销售量，其中销售量=20+降价x2。

解析：∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件。

∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，

∴现在每件的利润为（40-x）元

∴y=（40-x）（20+2x）=-2x²+60x+800。

答案：y=-2x²+60x+800

规律方法：列二次函数解析式的关键是理清函数值y与自变量x之间的关系。找出等量关系，构建函数模型。

变式2：设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式

是（         ）

A、y=x²／2       B、y=x²／4     C、y=（x²√3）／2        D、y=（x²√3）／4

答案：D        根据等边三角形三线合一的性质，可知三角形的高为

x×sin60°=(√3)／2x，所以y=1／2x·[(√3)／2]x=[(√3)／4]x²，故选D。



知识点3、根据二次函数的概念求字母参数的值

案例3、已知函数y=（m²-m）x²+（m-1）x+m+1。

（1）若这个函数是二次函数，求m的值；

（2）若这个函数是一次函数，求m的值，并求出这个一次函数。

思路导引：（1）根据二次函数的概念，二次项系数不等于0，即可求出m的取值范围；（2）根据一次函数的概念，需二次项系数等于0且一次项系数不等于0，即可求出m的值，把m的值代入原函数关系式，则得到一次函数的表达式。解析：（1）函数y=（m²-m）x²+（m-1）x+m+1是二次函数，则m²-m≠0，解得m₁≠0，m₂≠1。∴当m₁≠0,m₂≠1时，这个函数是二次函数。

（2）解不等式组m²-m=0，m-1≠0。得m=0。∴当m=0时，这个函数是一次函数，其表达式为y=-x+1

规律方法：要求m的值或取值范围，需要得到一个关于m的方程或不等式（组），而得到关于m的方程或不等式（组）的基本方法，要根据相应的函数定义。

知识点4、求二次函数的值

案例4、已知y与x²+1成正比例，且x=3时，y=-18。

（1）求y与x之间的函数关系式，并判断该函数是否为二次函数，若是，指出相应的a，b，c的值；

（2）求x=-2时y的值；

（3）求y=-10时x的值。

思路导引：由y与x²+1成正比例，可设比例系数为k，然后根据x=3时，y=-18，即可求出k值。求出的函数关系式与二次函数的一般形式对照，即可知道是否为二次函数；在此基础上，分别把x，y的值代入函数表达式，即可求得相应的y的值与x的值。

解析:(1)设y=k（x²+1），把x=3时，y=-18代入，得-18 =k(3²+1)，解得k=-9／5

∴y=（-9／5）(x²+1)=(-9／5)x²-9／5。

∴y与x之间的函数关系式为y=(-9／5)x²-9／5。

这个函数是二次函数，其中a=-9／5，b=0，c=-9／5

（2）当x=-2时，y=-9／5×（-2）²-9／5=-9

（3）当y=-10时，解方程-9／5x²-9／5=-10，得x₁=(√41)／3，x₂=-(√41)／3。

变式3：（2016、云南石林月考）对于二次函数y=x²-3x，当x=-1时，y=____。

答案：当x=-1时，y=(-1)²-3×(-1)=1+3=4。



学在师越 给你最全面的课程安排

关注师越 授你最优质的学习方法

初中：英语  数学  物理  化学  语文  政治  历史

高中：英语  数学  物理  化学  语文  地理  历史  政治  生物

一次选择  一生改变

One  choice，one  life  change.

    关注 师越文化艺术