物理和数学的共同演化

物理学的突破有时需要数学领域的帮助，反之亦然。...







1912年，当时在苏黎世的瑞士联邦理工学院，33岁的理论物理学家阿尔伯特·爱因斯坦正在扩展他的狭义相对论理论。

他用狭义相对论描绘了时空维度之间的关系。七年后的现在，他试图在他的理论中引入重力的影响。这项壮举将取代艾萨克牛顿万有引力定律并导致爱因斯坦广义相对论的物理学革命，但是它还需要一些新的思想。

幸运的是，爱因斯坦的朋友兼合作者马塞尔格罗斯曼像一个圣诞老人带着令人的喜悦礼物——黎曼几何。

这个数学框架是由德国数学家波恩哈德·黎曼在19世纪中叶开发的，它本身就是一场革命。它代表了数学思维的转变，将数学形状视为他们所居住的三维空间的子集，从内在思考其属性。例如，球体可以被描述为三维空间中的一组点，其正好位于离中心点1个单位的位置。但它也可以被描述为在每个单点具有特定曲率特性的二维物体。这个替代定义对于理解球体本身并不是非常重要，但最终对于更复杂的流形或更高维度的空间非常有用。

在爱因斯坦的时代，这个理论还是新的，还没有完全渗透到数学中，但恰恰是爱因斯坦所需要的。黎曼几何给了他制定广义相对论精确方程所需的基础，才使得爱因斯坦和格罗斯曼能够在当年晚些时候发表他们的作品。

哥伦比亚大学数学系理论物理学家彼得沃特说：“很难想象，如果没有数学家的帮助，他会如何提出相对论。”

广义相对论的故事可能会发生在数学家的头上。这里的数学似乎是一位仁慈的“赞助人”，在恰当的时间以恰到好处的方程式祝福物理学这个“愚蠢”的世界。

当然，数学和物理学之间的相互作用要比这复杂得多。对于大部分有记录的历史，甚至都没有单独的学科。古希腊、埃及和巴比伦的数学假设我们生活在一个以距离、时间和重力表现的世界中。

“牛顿是第一位物理学家，”布朗大学的物理学家西尔维斯特詹姆斯盖茨说。“为了达到顶峰，他不得不发明一种被称为微积分的新数学。”

微积分使一些经典几何问题更容易解决，但牛顿最主要的目的是用微积分来帮助他分析在物理学中观察到的运动和变化。在那个故事中，数学可能更像是一个管家，而不是一个救世主，它是被用来帮助保持秩序的。

即使是在物理学和数学开始分开的进化路径之后，它们也是紧密相连的。“当你走得够远的时候，你真的不知道谁是物理学家，谁是数学家，”Woit说。

在两个领域的历史中，数学和物理学都为另一个领域提出了重要的想法。数学家Hermann Weyl关于李群的数学对象的工作为理解量子力学的对称性提供了重要的基础。他在1930年出版的《量子力学原理》一书中，理论物理学家狄拉克（Paul Dirac）介绍了狄拉克三角函数来帮助描述粒子物理学中一个点状粒子的概念——任何事物都很小，以至于它将被理想化的情况下的一个点模拟。狄拉克三角函数的图像看起来像一条水平线，沿着图的x轴的底部，在x=0处，除了它与y轴相交的地方，在那里它爆炸成一条直线指向无穷。狄拉克声称，这个函数的积分，即它下面的面积的测量，等于1。严格地说，没有这样的函数存在，但狄拉克使用狄拉克三角函数最终促使数学家Laurent Schwartz发展了分布理论数学严谨的方式。

尽管现代研究人员越来越关注他们的工作，物理学和数学之间的界限依然模糊。一位物理学家赢得了菲尔兹奖章，这是数学界最负盛名的奖项之一。数学家Maxim Kontsevich赢得了数学和物理学的新突破奖。人们可以参加有关量子场论、黑洞和弦理论的数学和物理系的研讨会。自2011年以来，一年一度的弦数学会议将数学家和物理学家聚集在一起，研究弦理论和量子场理论的交叉领域。

弦理论可能是数学和物理学之间相互作用的最新例子，因为这最终将我们带回到爱因斯坦和重力问题。

弦理论是一个理论框架，其中狄拉克描述的那些点状粒子变成了称为弦的一维物体。这些弦的理论模型的一部分对应于引力子，即承载重力的理论粒子。

大多数人会告诉你，我们认为宇宙具有三个空间维度和一个时间维度。但弦理论自然生活在10个维度。1984年，随着弦理论研究的物理学家人数激增，包括后来被授予菲尔兹奖的物理学家Edward Witten在内的一批研究人员发现弦理论的额外六个维度需要成为被称为一个Calabi-Yau流形。

当数学家加入战争并试图找出这些流形可能具有的结构时，物理学家希望只有少数结果。然而，他们发现如此之多的Calabi-Yaus流形，数学家们还没有完成对他们的分类工作，他们甚至还没有确定他们的分类是否是有限的。

当数学家和物理学家研究这些空间时，他们发现了Calabi-Yau流形之间的一个有趣的二元性。看起来完全不同的两个流形最终可能会描述相同的物理，这种被称为镜像对称的想法在数学方面已经开花结果，从而形成了全新的研究途径。弦理论的框架几乎已经成为数学家的一个操场，产生了无数新的探索途径。

加州大学伯克利分校的理论物理学家Mina Aganagic认为，弦理论和相关主题将继续提供物理学和数学之间的这些联系。

“从某种意义上说，我们已经探索了很小一部分的弦理论以及其中很少的预测，”她说。数学家和他们对详细的严格证明的关注给这个领域带来了一个观点，物理学家们倾向于把直觉理解放在优先位置。“这就是让关系如此令人满意的原因。”

物理学与数学的关系可以追溯到两个学科的开始，随着这些领域的进步，这种关系变得越来越纠结。一套精心设计的工具可以帮助物理学家，或者物理学的探索性问题可以激励数学家创造全新的数学对象或理论。

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