#数学文化#拍案叫绝之胡说八道

 

这次推送无难点纯娱乐普及几个数学上或者逻辑上的悖论或者令人拍案叫绝的命题数学,还是很美妙的……(因缺斯汀)...



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据说
交大的同志们被高数狂虐
用积分算个牟合方盖体积,三个圆柱能让友谊的小船说翻就翻…

为了迎合大众的需求,为了激起同学们对数学的热情(认真脸)…
小编们决定了
这次推送
无难点  纯娱乐 
 普及几个数学上或者逻辑上的悖论或者令人拍案叫绝的命题
数学,还是很美妙的……(因缺斯汀)
1、自然数全部加起来是-1/12?
你逗我?

事实上,这是个错误的论断。请看下面小编一本正经胡说八道…

首先令S1=1-1+1-1+...

那么1-S1=1-1+1-1+...=S1,所以得S1=1/2

令S2=1-2+3-4+...

那么2S2=1-(2-1)+(3-2)-(4-3)+...=1-1+1-1+...=S1,所以得S2=1/4

令S=1+2+3+4+...

那么S-S2=1+2+3+4+...-(1-2+3-4+...)=4+8+12+16+...=4*(1+2+3+4+...)=4S

由于S2=1/4,解一元一次方程得S=-1/12

……     ……     ……

世界观崩塌了有木有  生无可恋了有木有  这种结论能出来也是流氓得不行

当然学过级数的盆友应该很容易找到问题所在,在此从略…
2、无穷小量的乘积不一定是无穷小量!
没错,这是真的!

学过高数的同志们想必对数列极限非常了解,无穷小数列指的是当n趋近于正无穷大时,数列收敛于0。有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量,这个毋庸置疑…BUT  如果是无限个无穷小量的乘积,情况就大不相同了,例子也很好举,例如下面的数列相乘:

{a1n}={1  1/2  1/3  1/4  ...}

{a2n}={1     2   1/3  1/4  ...}

{a3n}={1     1     9    1/4  ...}

{a4n}={1     1     1      64  ...}

...

{amn}=...

...

对任意m,{amn}在n趋于正无穷时是无穷小量,然而…他们的乘积(注意是对应相乘)…并不收敛于0…
3、欧拉公式
欧拉公式-被誉为世界最美公式之二(第一是麦克斯韦方程组)

e^(iθ)=cosθ+isinθ


可以说这个公式自从它诞生以来就充满了神秘的色彩,“它给出了(实变量)指数函数与三角函数之间的关系”。当然这么说理解起来还是比较抽象,但是如果将θ=π代入,公式变为e^(iπ)=-1,这样是不是显得更高大上呢?

仔细想想公式的内涵,当θ取成π时,欧拉公式硬是把无理数e,无理数π,虚数单位i,自然数1,通过指数的形式完美地结合在一起。有人说这个公式很好证明,分别对e、cos、sin做泰勒展开就行。如果真是这样,欧拉将哭晕在厕所无法自拔……本编在此只介绍,证明过程就不提了……(好吧,我就是不会,咋滴……)

类似于欧拉公式的这种能把几个不同“类”的数联系起来的公式,想必不占少数,比如~

Σ1/n2=π2/6

Wallis公式

Stirling公式

摆线长公式

好吧,最经典的,0.99999…=1

……
4、一些比较形象的,令人称奇的结论…
比如说

半球的体积等于等底等高的圆柱切去一个圆锥的体积(这是古希腊数学的巅峰之一,不好理解?看图!)



    后来在遥远的东方:祖冲之之子祖暅说到:“幂势既同,则积不容异”。本质上是一个道理。也许可以说,数学如同一颗上古流星,在东西方未有交流前,便将思想如陨石般坠落在世界的每一个角落。

再比如

利用莱洛三角形,平稳地搬运东西不一定要用圆木(因此引发了一系列对古埃及金字塔建造之谜的解释)


说到形象,不得不说图论和拓扑。拓扑学里有个“同胚”的神奇概念,例如下面这两个就是拓扑等价的:


看不出来吗?


   在实际生活中也有应用:不打开绳结、不割断绳子(当然不能割断人),是可以把下面的两个人解开的。

(这个就不给答案了)
          
5、数学中一些好玩的工具


比如钱德拉的筛子:构造一个数组

第一行为通项是3i+1的等差数列,第二行为通项是5i+2的等差数列,以此类推,可得第i行第j列的元素a[i,j]=i+j=2ij,如下

4     7     10     13     16     19     22     25…

7     12   17     22     27     32     37     42…

10   17   24     31     38     45     52     59…



如果N是数组中的元素,则2N+1必然是合数;如果N不是数组中的元素,则2N+1必然是质数

这个数组被用来筛出素数,由钱德拉发现,故称钱德拉筛子。(亲测有效!)
6、数学中一些有趣的现象
《控制论》的作者维纳在进入大学后,向其他同学介绍自己。他是这样介绍自己的年龄的:

我的岁数的立方和四次方的所有数字即是0~9,没有重复

实际上,他那年,18……(莫名被打脸)

我们再来看两组数:

A:1,5,10,18,23,27;

B:2,3,13,15,25,26;

它们满足一个神奇的性质:这两组数的和相等,即,1+5+10+18+23+27=84=2+3+13+15+25+26

看到这里,你也许会不屑一顾

我们再算算各自数组的平方和,即,12+52+102+182+232+272=1708=22+32+132+152+252+262

但是事情并没有结束,我们算算它们各自的立方和,即,(小编手累……)

13+53+103+183+233+273=46324=23+33+133+153+253+263

这就有点让人意外了,然而这并不是终点(还不是终点……)

它们的四次方和五次方和也均相等!但是六次方和就不一样了。

这些数字源自于前苏联数学家Gelfond发现的恒等式:

an+(a+b+4c)n+(a+2b+c)n+(a+4b+9c)n+(a+5b+6c)n+(a+6b+10c)n=(a+b)n+(a+c)n+(a+2b+6c)n+(a+4b+4c)n+(a+5b+10c)n+(a+6b+9c)n

其中n=1,2,3,4,5

上面的例子,只是a=1,b=1,c=2的情形而已。可以预见,如果改变a,b,c的值,我们就可以得到其他满足要求的数组了。我们原以为这样的数组是凤毛麟角,不可多得,现在看来,它们真的是要多少有多少!

这类问题,在数学上叫做k次乘方幂的等和问题,或者等幂和的问题。
小编手累了……在你萌高数期中前传一波高分神功!


别谢我,我叫雷锋
撰文 |学术部数学文化小组

胡雨宽,宋增春,马浩然


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