数学之从七桥问题到欧拉公式

从七桥问题到欧拉公式哥尼斯堡七桥问题的解释，让欧拉开始了他的数学之旅，开图论和拓扑学之先河七桥问题的关键...

哥尼斯堡七桥问题的解释，让欧拉开始了他的数学之旅，开图论和拓扑学之先河

七桥问题的关键在于数出图中的“奇点”和“偶点”。下面的图中，如果用 V 来表示顶点数，用 E 来表示边数，用 F 来表示“区域”数。欧拉发现，V、E、F之间存在一定数量关系。



V=4, E=4, F=1                        V=7, E=10,F=4                         V=10, E=15, F=6

任意一个图中的顶点数 V、边数 E  和它们围成的区域数

F  一定满足   V– E + F = 1,这个公式就是欧拉公式。注意，欧拉公式研究的图形必须是完整的连通图，并且图中连线不能交叉。上图就不能适用欧拉公式。



欧拉公式有很多证明方法，多数都使用了数学归纳法，而我们今天要尝试使用在小学就能掌握的知识来证明之。

以上为平面上的欧拉公式，在立体条件下，欧拉公式变为： V– E + F = 2（实际上如果将多边形外边的广大部分也算做一个面的话，这个公式也适用于平面的情况）。

实际上，只存在以下几种正多面体：

而对于棱柱的情况：

那么对于更古怪的多面体呢？

图（1）                                                                            图（2）我们可以看到以上的多面体都符合欧拉公式。定理：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系:V+F－E＝2这个定理叫做欧拉定理（其关系是叫做欧拉公式）。

在欧拉公式中，令f（p）＝V＋F－E

f（p）叫做欧拉示性数。上述多面体欧拉定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f（p）＝2

在图论、扭结理论、拓扑学等各个数学分支中，欧拉公式都是非常核心的重要结论。

读而思

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duersi

最后留个作业给有兴趣的同学尝试一下：

试用欧拉公式证明，只存在五种正多面体。

一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比分母.分母越大,则分数的值就越小."

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