矩阵相似合同

矩阵的相似与合同

今天更新的内容是矩阵的相似与合同。矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐...

今天更新的内容是矩阵的相似与合同。

矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐标表示。如果这句话理解不了，大家可以就掌握矩阵相似的定义，把这种相似理解成某种性质的相同也可以。相似矩阵的特征值相同，秩也相同，方阵对应的行列式也相同，需要指出的是上述命题的逆命题并不成立，我们判断两个矩阵是否相似，一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似，其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。

矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的，实际上脱离二次型单独讲合同有很多复杂内容可讲。我们在考研中理解合同就针对二次型里的对称阵，给一个二次型，我们可以写成矩阵表达形式，做一系列的可逆变换，新得到的表示二次型的矩阵，就是与原矩阵合同的新矩阵。（其实对这一块，大家只需要知道，对于对称阵，两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，也就是正特征值的个数，负特征值的个数相同）。

矩阵相似与否和合同与否没有直接关系，但在我们的考试当中，一般考察对称阵，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。（相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样）。

结合2007年考研真题来讲一下思路。

被水印挡住的是既不合同也不相似，首先矩阵A和B都是对称阵，排除C，因为两个对称阵相似一定合同，此类题的思路是看A和B的特征值是否一样，特征值一样，就相似且合同，特征值不一样但正负性相同就合同但不相似，A的特征值求出来为0,3,3，B的特征值为0,1,1，故选B。

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