千呼万唤始出来，犹抱域套半遮面——高数污王登场！
它就是老大，不服来辩啊...
它就是老大
不服来辩啊
老二拉格朗日中值定理（传送门）登场的时候，通过留言超模君知道很多模友都猜中了老大，没错，就是 闭 域 套 定 理。
千呼万唤始出来，犹抱域套半遮面，你知不知道，我等到花儿都谢了！//
那么，闭域套定理是如何击败夹逼准则和拉格朗日中值定理，登上污王的宝座呢？请看：
孙悟空拔一根猴毛，吹出5个小猴子
我们的闭域套定理也有这个技能，弹指一挥间，它就能变出（推出）五个小兄弟：单调有界定理、确界原理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理。
所谓实数完备性六大基本定理，它们之间的互推成了数学专业考研的“噩梦”！
事不宜迟，现在就来揭开老大的神秘面纱吧。当然不是每个人都有这个权利，我们请来了能说会道的闭区间套（闭域套）先生，他给我们讲了一个“有趣”的故事：
从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说.......(陷入无限循环中)
在故事开头，山好比是第（1）个闭区间，庙好比是第（2）个闭区间，里面两个和尚就是闭区间（3）。老和尚对小和尚说的话中的山好比闭区间（4），话中的庙好比闭区间（5）……如此反复下去，到什么时候才停止呢？
让我们的老大来告诉你，这不是tan90°，也不是56阶单群（PS：56阶单群是不存在的，所以这个梗跟tan90°是一样的）。
到这里，或许有模友就疑惑了：好好的闭区间，为何给它一个“闭域套”这么污的名字？
这你就不懂老大了，正所谓白道黑道都有人罩，才是幕后的老大。
《疯狂动物城》中的“老大”
老大的背后，可是被推广成更庞大的定理：闭长方体套定理（3维情形也称中国盒定理），闭球套定理，闭区域套定理，闭集套定理……
从简单的闭区间套，到我们还可以想象的闭长方体套，闭球体套 ，再到难以想象的Rn上的闭区域套，超乎想象的完备度量空间上的闭集套，这中间经历了多少风风雨雨，依然是一个套着一个，无论直径怎么变化，那个唯一的点，始终藏在灯火阑珊处。
就好比那个最真挚的人，哪怕生活多少变化，自始至终与你十指相扣，陪你慢慢地走向幸福的终点站。
看不懂这深奥的甜言蜜语？没关系，来个恋爱例题练练手：
设一个男生正在追求一个女生。
他每次会为自己设定一个表白的最早时刻和表白的最晚时刻，且每次设定的最早时刻都比上一次设定的晚，每次设定的最晚时刻都比上一次设定的早。
如果每次所设定的这两个时刻越来越接近直至几乎重合，那么该男生存在唯一的脱单时刻。
那么，有了闭域套定理，就可以安全地和拉格朗日中值定理睡觉了！看看在床上的闭域套定理是怎么推倒（推导）拉格朗日中值定理吧（单纯点也可以理解为老大吹出的猴毛中有一根是老二）。
首先我们可以回想一下老二（传送门），看看老二是长什么样的。
我们先给出一个引理：
我们构造一个函数：
咦，这两个点的函数值恰好是相反数！正是利用这个特点，我们分两种情况讨论
Case 1：
Case 2：
有了这个引理，就可以很好地召唤闭区间套，来证明拉格朗日中值定理了！
反复利用这个引理，可以得到闭区间套{[an，bn]}，并且它们满足下面三条性质（请记住第三条）
中途休息，我们来翻一下淑芬或高树课本，回忆无穷小的知识点……
最后得到一个简化版的柿子
如果说，你是海上的烟火，我是浪花的泡沫……不好意思，唱错台词了！如果说老大没有用到夹逼（老三）的思想，那就太天真了，老大可是包罗万象的。
我们构造一个数列cn，称它为小鲜肉，从出生那天（n=1代表一岁）开始，它就围绕在父母（an和bn）爱的怀抱之下：
如果父母还为小鲜肉建立了一座温室套房（{[an，bn]}是闭区间套），这时老大闭区间套定理和老三夹逼定理告诉我们：
小鲜肉cn的极限是存在的，并且和an与bn的极限是一致的。虽然有一天小鲜肉会长大成大肥肉，想脱离父母的爱，但是他们做不到，始终心系孩儿，哪怕尽一份力，也要给予全部的爱。
到此为止，一下子把老二老三握在五指之中的闭域套定理，特别是证明老二的时候，闭域套定理使出了浑身解数。老大，它当之无愧吧！
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