你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗? 科技袁人

 

全体自然数的和等于-1/12,你八成听说过这个说法吧?其实这句话是解析延拓的意思,而绝非字面意思。只有一些一瓶子不满半瓶子晃荡的伪科普,喜欢在这里咋咋呼呼,制造大新闻,吓唬那些听风就是雨的naïve的听众。报道出了偏差,你们也有责任的好吧!...



全体自然数的和是-(1/12),也就是1+2+3+4+5+……= -1/12

这个说法听上去就很唬人,那么到底是不是真的呢?又怎么会流传出这种说法的呢?

这一集里面我们都能找到答案。



视频链接

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秒拍:

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部分评论

枪林弹幕雨:

[quote]课程要点:黎曼猜想的内容(字认识就行,本章结束后才能理解),自然数之和悖论的理解(大概了解,不至于被伪科学忽悠),解析和幂级数,解析延拓
难点:解析延拓的定义和运用
难点解析:主要举了两个栗子①y=x(–1 1的范围内使用。

按照欧拉的路线走下去,到这里基本就结束了,翻不出什么大浪了。让我们欢送大神欧拉~
欧拉
山重水复疑无路,柳暗花明又一村,我们新一代的大神黎曼出场了!
黎曼
黎曼一出来,就指出了几个要点:

一,我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数(complex number),而不只是实数;

二,我们可以通过解析延拓(analytic continuation),让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义;

三,通过对ζ(s)的研究,我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式,在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置;

四,黎曼猜测,ζ(s)的零点都位于某些地方,这个猜测就是黎曼猜想

也许你对这四条不能完全听懂,甚至是完全听不懂。没关系,如果你一上来就完全听懂了,那只有一种可能,就是你本来就知道黎曼猜想是什么,那么你也就没有必要听我在这里讲了。如果你对黎曼猜想不甚了然,那么我可以告诉你,以上就是黎曼提出这个猜想的基本脉络。至于这四条具体的意思,我们可以循序渐进地讲述。

更有意思的是,考虑到读者之间数学水平的巨大差异,我会提供若干种不同分辨率层次的描述,先讲简略的,再讲精细的。就像对前面讲过的蓝眼睛岛问题从蓝眼睛问题,看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰,我分成了十个层次来解读。如果你缺乏基础,那么你只看那些简略的描述就够了。这至少足以让你获得一个正确的大图景,不会再被那些危言耸听的伪科普咋呼得世界观崩溃。而如果你的数学基础不错,而且你很有好奇心,那么欢迎继续去看精细的描述,这会让你获得更多数学的快乐。

当前我们的目的,是理解所谓“全体自然数的和等于-1/12”。这里的关键在于黎曼的第二条,也就是通过解析延拓,可以让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义。也就是说,
这就是我们在上一期中说过的,欧拉ζ函数升级为黎曼ζ函数

假如仍然用s > 1时的定义,那么ζ(-1)就是全体自然数的和,因为这时n的-s次方就是n的1次方,也就是n。但实际上,ζ(-1)已经不是这么定义的了,它换了一个定义,在新的定义下,它等于-1/12。所谓“全体自然数的和等于-1/12”,如果要有意义的话,就是这个意思,它说的其实是黎曼的ζ(-1) = -1/12

如果你问:就其本身而言,全体自然数的和等于多少?答案当然是无穷大了!所以这里没有任何矛盾或者阴谋,数学家从来没有欺骗过你

有人说,物理学家经常会用到“全体自然数的和等于-1/12”。没错,物理学家确实会在量子场论、超弦理论等地方用到这个命题,但在用的时候他们当然知道这话是什么意思,是解析延拓的意思,而绝不是字面的意思。只有一些一瓶子不满半瓶子晃荡的伪科普,喜欢在这里咋咋呼呼,制造大新闻,吓唬那些听风就是雨的naïve的听众。报道出了偏差,你们也有责任的好吧!如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你就会问了:解析延拓是什么意思?

作为一个最简略、最直观的理解,解析延拓就是扩大一个函数的定义域,使得它在一些原本没有定义的地方也有了定义,而在原本有定义的地方跟原来一样。

具体怎么做呢?举一个最平凡、最没有技术含量的例子,你在-1 < x < 1的区间里定义了一个函数y = x。它的函数图像是一条线段,从(-1, -1)连到(1, 1)。任何人一看这个图像,都会感到它意犹未尽。显然,你可以把这条线段向两边延伸,而且可以延伸得任意远。这样一来,你就把这个函数的定义域从(-1, 1)这个区间扩展到了整个数轴。这就是一个最简单的解析延拓。

如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你可能就会问了:一条线段向外延伸,并不见得一定要按照直线来延伸,也可以延伸成折线、或者圆、或者椭圆、或者抛物线、或者双曲线、或者任何其他的曲线,这些也都是解析延拓吗?

回答是:不是!请注意在“延拓”前面的那两个字,“解析”。什么叫做解析呢?在直觉层面,可以认为就是延续原始函数的自然趋势,自然地过渡到新的区域。从直觉就能理解,如果你不是把一条线段扩展到它的延长线,而是扩展到其他的任何曲线,这样的扩展方法都很生硬,没有延续那条线段的自然趋势,因此这些都不是解析延拓。

实际上,解析延拓的一个惊人的要点就是:一个函数的解析延拓是唯一的!也就是说,在一个比较小的定义域内给定一个函数,那么在它解析延拓之后,在更大的定义域里的任何一点都只可能有一个取值,这个取值完全由这个函数在原始定义域里的表现决定。比如说我们上面那个例子,这条线段解析延拓之后,在x = 3的地方必然得到y = 3,而不可能得到2或者4或者任何其他的值。

如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你可能又会问了:对于不像y = x这么简单的函数,如何进行解析延拓?

回答是:解析延拓的一般方法,是通过幂级数(power series)来进行的。

什么叫做幂级数?就是幂次越来越高的多项式相加形式的级数,即
假如一个函数y = f(x)在某个点x0附近等于一个幂级数,那么我们就说这个函数在这一点是解析(analytic)的。这其实就是“解析”这个词的严格定义。

对于前面那个最简单的例子,y = x这个表达式本身就是一个幂级数,其中的x0 = 0,也就是说它在原点附近等于一个幂级数,其中只有一次项的系数等于1,其他项的系数都等于0。而在原点之外的某个x0附近,你可以把它写成y = x0 +(x-x0),这仍然是一个幂级数,一次项的系数仍然是1,二次及更高次项的系数仍然是0,只是零次项也就是常数项从0变成了x0。所以在x0附近,这个函数也是解析的。

对于一个幂级数,一个很重要的性质是它的收敛半径(radius of convergence)。也就是说,一个幂级数并不见得总是收敛的,或者说总是能算出一个有限值。如果离中心点x0太远,幂级数就可能变成无穷大,也就是说发散了。对于y = x,它的收敛半径是无穷大,也就是说在任何地方都收敛,这当然是最简单的情况。让我们来看一个稍微复杂一点的情况,一个由等比数列组成的幂级数:
请问,这个等比级数等于什么?

学过等比数列求和的同学,立刻就知道它的前k项加起来等于
现在我们要求的不是前k项的和,而是无穷多项的和。如果x的绝对值小于1,也就是说-1 < x < 1,那么你立刻可以看出当k趋于无穷的时候,x的k次方趋于0,所以这整个求和Sk会趋于1/(1-x)。而如果x的绝对值大于1,也就是说x > 1或者x < -1,那么当k趋于无穷的时候,x的k次方趋于无穷大,所以求和Sk也趋于无穷大。很好,这样我们就知道了原来那个等比级数的收敛半径等于1,在这个收敛半径之内它等于1/(1-x),而在收敛半径之外它发散,所以这个等比级数的定义域最大只能到(-1, 1)这个区间。

有了这些基础知识的准备之后,这个等比级数的解析延拓就呼之欲出了。在收敛半径之外,我们就定义它等于1/(1-x)。这样一来,我们获得了一个定义域更大的函数,定义域扩大到了除x = 1之外的所有的点,而在原来的定义域(-1, 1)之内跟原来的函数相等。

为什么要除掉x = 1这一点呢?因为x如果等于1,分母1 - x就等于0,整个式子就会变成1/0,没有意义。如果把解析延拓比喻成抢救一个函数,那么“我觉得我还可以再抢救一下”,——确实在其他各处都抢救回来了,只有x = 1这一个点不行!
我觉得我可以再抢救一下


不过对于收敛半径上另外一端的点,即x = -1,我们的抢救确实成功了,在这一点可以算出1/(1-x) = 1/2。在这里我们可以做一件有趣的事,就是把x = -1代回到等比级数里,假装不知道这时函数的定义已经改变了,那么就会在形式上得到:
在这里出现的1之后交错减1和加1的级数,叫做格兰迪级数(Grandi’s series),格兰迪(GuidoGrandi,1671 - 1742)是一位十七世纪和十八世纪的意大利数学家。格兰迪级数在历史上曾经引起热烈的讨论。你觉得,这个级数应该等于什么呀?等于0?还是1?还是1/2?还是别的什么?
格兰迪


实际上,就最基本的意义而言,应该说格兰迪级数不等于任何一个数,因为它的前k项的和交替地取值1和0,并不趋于一个极限。但在若干种推广的意义上,可以说它等于1/2。这里给出的就是一种推广的意义,即等比级数的解析延拓。所谓全体自然数的和等于-1/12,也只是在像这样的推广的意义上才能成立。

如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你可能又会问了:黎曼是如何对ζ函数进行解析延拓的?他为什么对ζ(-1)得出了-1/12这个结果?

很好的问题!鉴于许多同学们需要时间来消化这堂课的内容,黎曼的具体做法,我们放到下次来讲。

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