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来源：数据蛙DataFrog

阅读路线：

概率介绍
离散型概率分布和连续型概率分布
抽样和抽样分布
区间估计
假设检验

一、概率介绍

概率是指的对于某一个特定事件的可能性的数值度量，且在0-1之间。我们抛一枚硬币，它有正面朝上和反面朝上两种结果，通常用样本空间S表示，S={正面，反面}，而正面朝上这一特定的试验结果叫样本点。对于样本空间少的试验，我们极易观察出他们样本空间的大小，而对于较复杂的试验，我们就需要学习些计数法则了。

1. 计数法则

1.1 多步骤试验的计数法则

如果一个试验可以分为循序的k个步骤，在第1步中有N1种试验结果，在第2步中有N2种试验结果...以此类推。那么所有的试验结果的总数为N1*N2*N3...*Nk。
举例：抛两枚硬币，第一枚有正反两种结果，第二枚有正反两种结果。所以试验结果的总数是 2X2=4

1.2 组合计数法则

从N项中任取n项的组合数

N和n的上下位置与我们平常见的是相反的。因为我们这里是以欧美规范为主。

举例子：从5个彩色球中，选出2个彩球，有多少种选法？

1.3 排列计数法则

从N项中任取n项的排列数

举例子：从5个彩色球中，选出2个彩球，有多少种排列方法？
代入得出答案是20种

2. 事件及其概率

2.1 事件

其实事件为样本空间的一个子集，通常，如果能确定一个试验的所有样本点并且能够知晓每个样本点的概率，那么我们就能求出事件的概率。

2.2 概率的基本性质

事件A的补：指的是所有不包含在事件A中的样本点所以事件A发生的
概率 P(A)=1-P(A-)

事件的组合：并和交

两个圆形区域所在的部分就是事件A和B的并，其中重叠的部分说明有一些样本点即属于A又属于B，它可以称之为交。

得出加法公式为：

P(A∪B) = P(A)+P(B) – P(A∩B)。P(A∪B) 是两个圆形面积，P(A)是蓝色圆面积，P(B)是橙色圆面积，当两者相加时，会多出一块重叠区域，于是减去P(A∩B)进行修正，得出正确的结果。

如果某个事件A发生的可能性受到另外一个事件B的影响，此时A发生的可能性叫做条件概率，记作P(A|B)。表明我们是在B条件已经发生的条件下考虑A发生的可能性，统计学中称为给定条件B下事件A的概率。

进而又得出了乘法公式：

2.3 贝叶斯定理

简单的来讲，贝叶斯定理其实就是，我们先假设一个事件发生的概率，然后又找到一个信息，最后得出在这个信息下这一事件发生的概率。举一个我们生活中的例子，当我们和一个被怀疑做坏事的人聊天时，我们首先假设他做坏事的概率为a，然后我们根据和他交谈的信息，得出对他新的认识，重新判断他做坏事的概率b。

贝叶斯就是阐述了这么一个事实：

新信息出现后B的概率=B的概率 X 新信息带来的调整

如果当直接计算P(A)较为困难时,而P(Bj),P(A|Bj) (j=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是：将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bj发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bj)，由加法公式得





P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)



=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

所以调整后的贝叶斯公式为：

离散型概率分布和连续型概率分布

概率中通常将试验的结果称为随机变量。随机变量将每一个可能出现的试验结果赋予了一个数值，包含离散型随机变量和连续型随机变量。既然随机变量可以取不同的值，统计学家就用概率分布描述随机变量取不同值的概率。相对应的，有离散型概率分布和连续型概率分布。

2.4 数学期望和方差

数学期望是对随机变量中心位置的一种度量。是试验中每次可能结果乘以其结果的概率的总和。简单说，它是概率中的平均值。

方差随机变量的变异性或者是分散程度的度量。

其中的u就是E(x)。

2.5 离散型概率分布

二项概率分布

二项分布是一种离散型的概率分布。故明思义，二项代表它有两种可能的结果，把一种称为成功，另外一种称为失败。

除了结果的规定，它还需要满足其他性质：每次试验成功的概率均是相同的，记录为p；失败的概率也相同，为1-p。每次试验必须相互独立，该试验也叫做伯努利试验，重复n次即二项概率。掷硬币就是一个典型的二项分布。当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式

且二项概率的数学期望为E(x) = np，方差Var(x) = np(1-p)。

泊松概率分布

泊松概率是另外一个常用的离散型随机变量，它主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数。比如一天内中奖的个数，一个月内某机器损坏的次数等。

泊松概率的成立条件是在任意两个长度相等的区间中，时间发生的概率是相同的，并且事件是否发生都是相互独立的。

泊松概率既然表示事件在一个区间发生的次数，这里的次数就不会有上限，x取值可以无限大，只是可能性无限接近0，f(x)的最终值很小。

x代表发生x次，u代表发生次数的数学期望，概率函数为：

其中泊松概率分布的数学期望和方差是相等的。

连续型概率分布

上述分布都是离散概率分布，当随机变量是连续型时，情况就完全不一样了。因为离散概率的本质是求x取某个特定值的概率，而连续随机变量不行，它的取值是可以无限分割的，它取某个值时概率近似于0。

连续变量是随机变量在某个区间内取值的概率，此时的概率函数叫做概率密度函数。

均匀概率分布

随机变量x在任意两个子区间的概率是相同的。

均匀概率密度函数

数学期望

方差

正态概率分布

正态概率分布是连续型随机变量中最重要的分布。世界上绝大部分的分布都属于正态分布，人的身高体重、考试成绩、降雨量等都近似服从。

正态分布如同一条钟形曲线。中间高，两边低，左右对称。想象身高体重、考试成绩，是否都呈现这一类分布态势：大部分数据集中在某处，小部分往两端倾斜。

正态概率密度函数为：

u代表均值，σ代表标准差，两者不同的取值将会造成不同形状的正态分布。均值表示正态分布的左右偏移，标准差决定曲线的宽度和平坦，标准差越大曲线越平坦。

一个正态分布的经验法则：
正态随机变量有69.3%的值在均值加减一个标准差的范围内，95.4%的值在两个标准差内，99.7%的值在三个标准差内。