原创 |杠杆的前世今生

 

阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆实际应用中的一些经验知识当作"不证自明的公理",然后从这些公理出发,运用几何学通过严密的逻辑论证,得出了杠杆原理。...




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我是胡志强,人称大胡老师,初高中物理老师一枚。博锐奇智教育创始人,初高中物理骨灰级大咖,8年中高考花匠经历。千余次琢人经验。有笑,有料,有效,这就是我的奇智物理!

人生理想:做一名有范儿的教书匠!

 

回顾一下我们初中学过的或者正在学习的杠杆

杠杆基本知识



杠杆是六种简单机械之一
六种简单机械是啥?

告诉你:斜面、杠杆、滑轮、螺旋、楔子、轮轴。

为啥只有六种?

因为可以互相组合啊!组合成是啥样子?看下图


1728年的简单机械图鉴
简单普及六种简单机械的关系:

与力矩相关的简单机械:杠杆和它的变体——轮轴与滑轮。
与摩擦力相关的简单机械:斜面和它的变体——楔与螺旋。
组合变化的一些例子:
杠杆+轮轴=滑轮
斜面+斜面=楔轮
轴+楔=齿轮
螺旋+轮轴=螺丝



今天咱们只说杠杆,对杠杆的研究可以追溯到公元前3世纪的古希腊科学家阿基米德。
阿基米德
认识不?还有阿基米德原理那个故事。
这老头有很多名头的,确实牛掰人物。
古代复合型人才典型代表



发现阿基米德原理(浮力定律)                                                                                                                                  
初中课本学习的都是理论,人家阿基米德对杠杆的研究不仅仅停留在理论方面,而且据此原理还进了一系列的发明创造。堪比三国的诸葛亮,但是咱诸葛先生是政治家,军事家,发明就是为了军事,但是阿先生可是有坚实的理论功底的。

据说,他曾经借助杠杆和滑轮组,使停放在沙滩上的桅船顺利下水。据说阿先生给了国王一根细绳,国王一拉,船就下水了。

阿先生不仅造了投石器,而且还有射程。

在保卫叙拉古免受罗马海军袭击的战斗中,阿基米德利用杠杆原理制造了远、近距离的投石器,利用它射出各种飞弹和巨石攻击敌人,曾把罗马人阻于叙拉古城外达3年之久。

是不是够可以!



是不是想起了三国里的镜头了。

阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理。他首先把杠杆实际应用中的一些经验知识当作"不证自明的公理",然后从这些公理出发,运用几何学通过严密的逻辑论证,得出了杠杆原理。

这些公理是:

(1)在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量,它们将平衡;(这说的不就是等臂杠杆吗。但是当时人家表述的是事实,还没有等臂杠杆这样的名字而已。)

(2)在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量,重的一端将下倾;(力的影响)

(3)在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量,距离远的一端将下倾;(力臂的影响)

(4)一个重物的作用可以用几个均匀分布的重物的作用来代替,只要重心的位置保持不变。相反,几个均匀分布的重物可以用一个悬挂在它们的重心处的重物来代替;(杠杆的叠加问题,等效替代,整体法思想都有啦)

似图形的重心以相似的方式分布……正是从这些公理出发,在"重心"理论的基础上,阿基米德又发现了杠杆原理,即"二重物平衡时,它们离支点的距离与重量成反比。"(杠杆平衡条件的原始表达)
中国古代关于杠杆的研究


这里还要顺便提及的是,在我国历史上也早有关于杠杆的记载。战国时代的墨家曾经总结过这方面的规律,在《墨经》中就有两条专门记载杠杆原理的。这两条对杠杆的平衡说得很全面。里面有等臂的,有不等臂的;有改变两端重量使它偏动的,也有改变两臂长度使它偏动的。这样的记载,在世界物理学史上也是非常有价值的。
杠杆的平衡状态
当杠杆处于静止状态或匀速转动状态时,杠杆就处于平衡状态。
杠杆
杠杆的平衡条件
杠杆的平衡条件:动力×动力臂=阻力×阻力臂
用字母表示就是:F1×L1=F2×L2
杠杆的平衡条件又叫杠杆原理,是阿基米德最早提出的。
阿基米德进行过力学方面的研究,并将其运用于杠杆和滑轮的机械设计。据说,为了宣扬其研究成果而夸口说:“给我一个支点和足够长的杠杆,我可把地球搬动给你们看。”虽然,他没有搬动地球,却用滑轮移动了大船。


理想家阿基米德
咱们来算一算:

设支点在地球外1万米处,如果一个在地球上可提起60kg的物体,则需要在支点外的1x10的24次方km处才能搬动地球,地球质量6x10的24次方kg。(脑补一下有多长,多重???是不是脑袋不够用了!)

1个天文单位为地球到太阳之间的平均距离,即1A.U.=1.5x10的8次方km,一光年为光在一年前进的距离,1L.Y.≈9.5x10的12次方km.支点在地球外10km(1万米)处,这是个难题。11亿光年,远远超出了我们所在的银河系,也越过了从宇宙能得到信息的极限。——这就是阿基米德的“理想”。(千真万确的理想)


理想嘛,想想总是可以的
变形杠杆:像轮轴这类的工具也属于一种变形杠杆。就拿最简单、相似于第一类杠杆的定滑轮来介绍,滑轮轴心好比支点,两端物体的拉力好比杠杆的两端施力,而如果滑轮是一个完美的圆,施力臂和阻力臂皆将是圆的半径。

生活中的杠杆
如果我们分别用花剪(刀刃比较短)和洋裁剪刀(刀刃比较长)剪纸板时花剪较省力但是费时;而洋裁剪则费力但是省时。

1.剪较硬物体

要用较大的力才能剪开硬的物体,这说明阻力较大。用动力臂较长、阻力臂较短的剪刀。比如手术剪刀✂️



2.剪纸或布

用较小的力就能剪开纸或布之类较软的物体,这说明阻力较小,同时为了加快剪切速度,刀口要比较长。用动力臂较短、阻力臂较长的剪刀。理发的剪刀也是如此。



3.剪树枝

修剪树枝时,一方面树枝较硬,这就要求剪刀的动力臂要长、阻力臂要短;另一方面,为了加快修剪速度,剪切整齐,要求剪刀刀口要长。用动力臂较长、阻力臂较短,同时刀口较长的剪刀。一般都用老虎口的大剪刀,剪钢筋的还有老虎钳子。
 
经济杠杆 - 杠杆比率
认股证的吸引之处,在于能以小博大。投资者只须投入少量资金,便有机会争取到与投资正股相若,甚或更高的回报率。但挑选认股证之时,投资者往往把认股证的杠杆比率及实际杠杆比率混淆,两者究竟有什么分别?投资时应看什么?

想知道是否把这两个名词混淆,可问一个问题:假设同一股份有两只认股证选择,认股证A的杠杆是6.42倍,而认股证B的杠杆是16.22倍。当正股价格上升时,哪一只的升幅较大?可能不少人会选择答案B。事实上,要看认股证的潜在升幅,我们应比较认股证的实际杠杆而非杠杆比率。由于问题缺乏足够资料,所以我们不能从中得到答案。

杠杆比率=正股现货价÷(认股证价格x换股比率)

杠杆反映投资正股相对投资认股证的成本比例。假设杠杆比率为10倍,这只说明投资认股证的成本是投资正股的十分之一,并不表示当正股上升1%,该认股证的价格会上升10%。

以下有两只认购证,它们的到期日和引伸波幅均相同,但行使价不同。从表中可见,以认购证而言,行使价高于正股价的幅度较高,股证价格一般较低,杠杆比率则一般较高。但若投资者以杠杆来预料认股证的潜在升幅,实际表现可能令人感到失望。当正股上升1%时,杠杆比率为6.4倍的认股证A实际只上升4.2%(而不是6.4%),而杠杆比率为16.2倍的认股证B实际只上升6%(而不是16.2.%)。

杠杆 - 经营杠杆

经营杠杆原理

指在企业生产经营中由于存在固定成本而使利润变动率大于产销量变动率的规律。
经营杠杆
 
根据成本性态,在一定产销量范围内,产销量的增加一般不会影响固定成本总额,但会使单位产品固定成本降低,从而提高单位产品利润,并使利润增长率大于产销量增长率;反之,产销量减少,会使单位产品固定成本升高,从而降低单位产品利润,并使利润下降率大于产销量的下降率。所以,产品只有在没有固定成本的条件下,才能使贡献毛益等于经营利润,使利润变动率与产销量变动率同步增减。但这种情况在现实中是不存在的。这样,由于存在固定成本而使利润变动率大于产销量变动率的规律,在管理会计和企业财务管理中就常根据计划期产销量变动率来预测计划期的经营利润。为了对经营杠杆进行量化,企业财务管理和管理会计中把利润变动率相当于产销量(或销售收入)变动率的倍数称之为“经营杠杆系数”、“经营杠杆率”,并用下列公式加以表示:

经营杠杆系数也可采用以下公式计算:在求得经营杠杆系数以后,假定固定成本不变,即可用下列公式预测计划期的经营利润:计划期经营利润=基期经营利润×(1+产销量变动率×经营杠杆系数)在某一固定成本比重的作用下,销售量变动对利润产生的作用,被称为经营杠杆。由于经营杠杆对经营风险的影响最为综合,因此常常被用来衡量经营风险的大小。经营杠杆的大小一般用经营杠杆系数表示,即EBIT变动率与销售量变动率之间的比率。

(1)经营杠杆系数计算。

企业经营风险的大小常常使用经营杠杆来衡量,经营杠杆的大小一般用经营杠杆系数表示,它是企业计算利息和所得税之前的盈余变动率与销售额变动率之间的比率。

第一,它体现了利润变动和销量变动之间的变化关系;

第二,经营杠杆系数越大,经营杠杆作用和经营风险越大;

第三,固定成本不变,销售额越大,经营杠杆系数越小,经营风险越小,反之,则相反;

第四,当销售额达到盈亏临界点时,经营杠杆系数趋近于无穷大。

企业一般可通过增加销售额,降低单位变动成本和固定成本等措施来降低经营杠杆和经营风险。

控制经营杠杆的途径企业一般可以通过增加销售金额、降低产品单位变动成本、降低固定成本比重等措施使经营杠杆率下降,降低经营风险。

可以从两个方面来理解经营杠杆一方面是从经营杠杆系数的计算公式可以看出来,单价和销售量增加,边际贡献就会增加,经营杠杆系数=边际贡献/(边际贡献-固定成本),因为分母还要减去一个固定成本,分母总是小于分子的,因此同时增加一个数值时,相对于金额较大的分子来说,它增加的幅度相对较小,而相对于金额较小的分母来说,它增加的幅度相对要大,所以分母增加比例越大,则整个式子越小,即经营杠杆系数越小,举例:如边际贡献=100,固定成本=20,则经营杠杆系数=100/(100-20)=1.25,当由于单价上升而使边际贡献增加20时,即边际贡献=120,固定成本不变,则120/(120-20)=1.2<1.25,即经营杠杆系数变小,两者呈反方向变化,其他也一样分析。


大胡老师 


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