小专研读：多步二叉树定价模型——从一个弹球迷宫游戏说起

在前几日，我们已经熟悉了单步二叉树模型的风险中性定价法。可是，在单步二叉树模型中，股价在一年后只会发生两种情...



在前几日，我们已经熟悉了单步二叉树模型的风险中性定价法。可是，在单步二叉树模型中，股价在一年后只会发生两种情况，这显然是不现实的。那么进一步挖掘原因，是什么导致这种“不现实”呢？其中的一个原因就是我们在时间上并没有进行细分。

我们再试想这样一个弹球迷宫游戏，当小球由于重力作用从顶部穿过很多钉子掉落进迷宫的过程中，小球每次碰到钉子都有50%的概率向左边下落，也有50%的概率向右边下落，然后掉落至新的一层然后由遇到另一个钉子，最终落在某个凹槽中。我们把小球往左或往右的结果想象成股价上涨或下跌的结果，最终的凹槽想象成一年后到期时股价的最终价格，而其中的各档的钉子就是到期前各个离散的时间点。

单步二叉树模型就好比只有一排钉子，较为粗糙；而多步二叉树模型则在单步的基础上对时间进行了相等的细分。



图1：弹球迷宫游戏示意图

让我们再来进入这样一个无套利机会金融市场：市场上有一只无风险收益产品，半年收益率为r，又有一只股票，目前价格为S(0)。

半年后股价只有两种可能：要么上涨到S(u)=S(0)(1+u)，上涨的概率为p(u)，要么或下跌至S(d)=S(0)(1+d)，下跌的概率为p(d)。同样地，如果另有一份欧式认购期权，行权价K，一年后到期，那么这份认购期权现在到底值多少钱呢？



图2：两步二叉树模型示意图（一）

根据多步二叉树模型的假设，我们很容易知道股价在一年后达到S(0)(1+u)(1+u)的概率为p(u)的平方，达到S(0)(1+u)(1+d)的概率为2p(u)p(d)，达到S(0)(1+d)(1+d)的概率为p(d)的平方。

接着，我们的核心思路是化两步为一步，从后往前推。首先我们观察上图中虚线框中的部分。



图3：两步二叉树模型示意图（二）

运用风险中性定价法，我们可以得到C(u) = [q*C(uu)+(1-q)*C(dd)]/(1+r)。同理，我们可以得到C(d) = [q*C(ud)+(1-q)*C(dd)]/(1+r)。其中q表示股价一次上涨的风险中性概率，1-q表示股价一次下跌的风险中性概率。

有了C(u)和C(d)后，再用一次风险中性定价法，我们就可以得到期权在初始时刻的价格C(0)：


我们再仔细地观察上面的公式，会发现C(uu)、C(ud)、C(dd)前的系数分别为 q的平方、2q（1-q）、（1-q）的平方，恰好是股价连续两次上涨、一次上涨一次下跌、连续两次下跌的风险中性概率。因此，我们再次发现，两步的期权定价也等于期权到期收益在风险中性概率下期望值的贴现值，与真实概率分布p(u)、p(d)无关。

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