走近量子纠缠(六、七)：帮倒忙的贝尔、贝尔不等式

贝尔的道路畅通了，开始构想他的理论，以此来支持他的偶像爱因斯坦，企图将量子物理的图像搬回到经典理论的大厦中！不过，他万万没料到，他最终是帮了爱因斯坦的倒忙，反过来证明了量子力学的正确性！...

上一讲中所提到的约翰·惠勒，是“黑洞”一词的命名者。学物理的也许记得他和他两个学生合写的那部大块头著作：《引力论》（Gravitation）。此书洋洋洒洒1279页，拿起来像块大砖头，是一部既学术严谨，又风格诙谐的巨著。



惠勒不仅构想了“延迟选择实验”，也是提出验证光子纠缠态实验的第一人。他在1948年提出，由正负电子对湮灭后所生成的一对光子应该具有两个不同的偏振方向。一年之后，吴健雄和萨科诺夫成功地完成了这个实验，证实了惠勒的预言，生成了历史上第一对互相纠缠的光子。     物理理论是必须用实验来验证的，这就是为什么诸如波尔、爱因斯坦、惠勒这些大理论物理学家都非常热衷于提出一个又一个思想实验的原因。量子纠缠态近年来宏图大展，也是以实验中的不断突破为基础。这个突破起始于英国物理学家约翰•斯图尔特•贝尔，他用他著名的“贝尔不等式”，将爱因斯坦EPR佯谬中的思想实验推进到真实可行的物理实验。

贝尔于1928年出生在北爱尔兰的一个工人之家，那是波尔和爱因斯坦索尔维会上首次开战后的第二年。也许这是上帝在冥冥之中，派来的一个将来能够突破“波爱世纪之争”僵局的使者吧。小时候的贝尔一头红发，满脸雀斑，为人诚实，聪明好学。长大后，则迷上了理论物理，他严谨多思，意志顽强，不屈不饶，敢作敢当。对疑难问题一头扎下去，不弄个水落石出绝不罢休。然而，量子论的理论研究只是贝尔的业余爱好。他多年供职于欧洲高能物理中心(CERN)，做加速器设计工程有关的工作，与理论物理，特别是量子论的理论基础的工作，相差甚远。贝尔只能利用业余时间来研究理论物理，正是这一业余研究使贝尔留名于物理史。

我们再回到波爱之争的顶峰：EPR佯谬的问题上来。当时波尔写文章回击了爱因斯坦等人的质疑，世纪争论似乎平息了，哥本哈根诠释成为量子论的正统解释。并且，既然问题是出在两大巨头不同的的哲学观上，便引不起多少人的兴趣。大多数科学家已经很少关心他们的争执。量子论的成功有目共睹，科技革命的果实每个人都乐于分享，每天早上太阳照样从东方升起，谁也看不见波函数如何塌缩，又有谁管那些微观世界的小孙悟空们被抓之前是不是“真实存在”的呢？波尔有他的道理，只要抓住孙悟空时，它是存在的就行了！

当然，也总是有那么一些脑袋停不下来的理论物理学家，仍然在冥思苦想这些问题：如何解释量子论中诡异的相干性和纠缠性呢？在此我们顺便总结一下前几节中我们所学到的：相干性涉及光和粒子的波粒二相性，最简单的例子是双缝干涉实验；纠缠性是EPR论文中提出的，涉及多个粒子的纠缠态。这是了解量子论诡异性的两个层次。

其实，双方的争执为什么三番五次不能平息呢？关键问题是：爱因斯坦这边坚持的是一般人都具备的经典常识，波尔一方更执着于微观世界的观测结果。那么，既然爱因斯坦不同意波尔的几率解释，有人就总想找出别的解释，既能照顾到爱因斯坦的“经典情结”，又能导出量子论的结论。这其中，支持度较多的有 ‘多世界诠释’和‘隐变量诠释’。

可以再借用薛定谔的猫来简述‘多世界诠释’：持这种观点的人认为，两只猫都是真实的。有一只活猫，有一只死猫，但它们位于不同的世界中。当我们向盒子里看时，整个世界立刻分裂成它自己的两个版本。这两个版本在其余的各个方面都是全同的。唯一的区别在于其中一个版本中，原子衰变了，猫死了；而在另一个版本中，原子没有衰变，猫还活着。

惠勒、霍金、费曼、温伯格等都在一定的程度上，支持‘多世界诠释’。实际上在目前，‘多世界诠释’已经代替‘哥本哈根诠释’，成为了量子论解释的主流派。但当初的爱因斯坦并不喜欢它，曾经诙谐地说：“我不能相信，仅仅是因为看了一只老鼠一眼，就使得宇宙发生了剧烈的改变！”的确，量子力学只涉及到微观粒子的问题，大可不必牵动整个宇宙！这其中的诡异性，恐怕比‘哥本哈根诠释’，有过之而无不及。因此，我们也回避回避，不在这里讨论它。

贝尔当初所热衷的，是‘隐变量’的问题。

在前面的‘波爱之争’一节中，我们用人掷硬币的例子来说明‘上帝掷骰子’，与‘人掷骰子’的区别。上抛的硬币，实际上是完全遵循确定的力学规律的，它之所以表现出随机性，是因为我們不了解硬币从手中飞出去時的詳細信息。也就是说，我们放弃了一些‘隐变量’：硬币飞出時的速度、角速度、方向、加速度……等等。如果忽略外界的影响，把这些隐变量全都计算进去，我们可以说：上抛硬币掉回原处时的状态是在离开手掌的那一刻就决定了的！

现在，贝尔想，爱因斯坦提出的EPR佯谬，是否也是因为我们忽略了某些隐变量的原因呢？贝尔更相信爱因斯坦的观点：既然两个互相纠缠的孙悟空被抓住的那一刹那，不可能瞬时超距地传递信息，那么，它们被抓住时候的状态，就应该是在它们从石头缝中蹦出来，互相分开的那一刻，就已经决定了。这就和我们掷硬币的情形类似。而不是像波尔所认为的那样，后来被抓住时，才临时随机选择而塌缩的！

贝尔要用实际行动来支持伟人爱因斯坦，要研究这其中潜藏着的隐变量！

可是，他一开始就碰到了高手：早在1932年，冯·诺依曼（J.Von Neumann）在他的著作《量子力学的数学基础》中，为量子力学提供了严密的数学基础，其中捎带着做了一个隐变量理论的不可能性证明。他从数学上证明了，在现有量子力学适用的领域里，是找不到隐变量的！

冯·诺依曼何等人物啊！天才神童，计算机之父。这位数学大师一言既出，二十年内，量子论的隐变量理论无人问津。还好，当贝尔在60年代碰到这堵高墙的时候，前面已经有人为他开路：美国物理学家戴维•玻姆（David Bohm）在50年代的工作，为冯·诺依曼的隐变量不可能性证明提供了一个实际的反例。而且，玻姆还将原来EPR论文中非常复杂的测量位置和动量的实验，简化成了测量‘电子自旋’的实验。顽强的贝尔虽然是‘业余’理论物理学家，却有‘敢摸老虎屁股’的精神。他仔细研究了冯·诺依曼有关‘隐变量不可能性证明’的工作后，找出了大师在数学和物理的交接之处，有一个小小的漏洞。

冯·诺依曼在他的证明中，用了一个假设：“两个可观察量之和的平均值，等于每一个可观察量平均值之和”。但是，贝尔指出，如果这两个观察量互为共轭变量，也就是说，当它们满足量子力学中的测不准原理的话，这个结论是不正确的。这儿可以插入一段有趣的历史。贝尔是在1965年才指出冯•诺依曼的错误的。其实，早在1935年，有一个鲜为人知的德国女数学家格雷特•赫尔曼（Grete Hermann，1901-1984）就指出了天才数学大师的这点失误。格雷特•赫尔曼是“代数女皇”，著名数学家艾米•诺特（Emmy Noether）在哥根廷大学的第一个学生。她早期对量子力学的数学哲学基础作了重要的贡献。1935年，格雷特在一篇文章中提出对冯•诺依曼有关‘隐变量不可能性证明’的驳斥。但遗憾的是，此文长期被忽略，直到贝尔1964年再次提出这点之后，又过了10年，1974年，文章发表将近四十年后，格雷特的原文才被另一个数学家Max Jammer发掘出来，为这位默默无闻的数学家正名。由此可见，名人的威力是何等之强大啊。

第二次世界大战开始后，格雷特•赫尔曼积极参与了反纳粹组织的各种活动。后来几十年，她也不再涉猎数学和物理，而将她的人生兴趣转向了政治，此是后话。

贝尔的道路畅通了，开始构想他的理论，以此来支持他的偶像爱因斯坦，企图将量子物理的图像搬回到经典理论的大厦中！不过，他万万没料到，他最终是帮了爱因斯坦的倒忙，反过来证明了量子力学的正确性！首先，在下一节中，我们稍微用点简单的数学，扼要地说明贝尔如何得到了他的著名的不等式。

七：贝尔不等式

1963-1964年，在长期供职于欧洲核子中心（CERN）后，约翰·贝尔有机会到美国斯坦福大学访问一年。北加州田园式的风光，四季宜人的气候，附近农庄的葡萄美酒，离得不远的黄金海滩，加之斯坦福大学既宁静深沉，又宽松开放的学术气氛。这美好的一切，孕育了贝尔的灵感，启发了他对EPR佯谬及隐变量理论的深刻思考。

贝尔开始认真考察量子力学能否用局域的隐变量理论来解释。贝尔认为，量子论表面上获得了成功，但其理论基础仍然可能是片面的，如同瞎子摸象，管中窥豹，没有看到更全面、更深层的东西。在量子论的地下深处，可能有一个隐身人在作怪：那就是隐变量。

根据爱因斯坦的想法，在EPR论文中提到的，从一个大粒子分裂成的两个粒子的自旋状态，虽然看起来是随机的，但却可能是在两粒子分离的那一刻（或是之前）就决定好了的。打个比喻说，如同两个同卵双胞胎，他们的基因情况早就决定了，无论后来他（她）们相距多远，总在某些特定的情形下，会作出一些惊人相似的选择，使人误认为他们有第六感，能超距离地心灵相通。但是实际上，是有一串遗传指令隐藏在它们的基因中，暗地里指挥着他们的行动，一旦我们找出了这些指令，双胞胎的‘心灵感应’就不再神秘，不再需要用所谓‘非局域’的超距作用来解释了。

尽管粒子自旋是个很深奥的量子力学概念，并无经典对应物，但粗略地说，我们可以用三维空间的一段矢量来表示粒子的自旋。比如，对EPR中的纠缠粒子对A和B来说，它们的自旋矢量总是处于相反的方向，如下图中所示的红色矢量和蓝色矢量。这两个红蓝自旋矢量，在三维空间中可以随机地取各种方向，假设这种随机性是来自于某个未知的隐变量L。为简单起见，我们假设L只有八个离散的数值，L=1，2，3，4，5，6，7，8，如下图所示，分别对应于三维空间直角坐标系的八个卦限。

八个卦限中纠缠态粒子A、B的自旋

[quote]由于A、B的纠缠性，图中的红矢和蓝矢总是应该指向相反的方向，也就是说，红矢方向确定了，蓝矢方向也就确定了。因此，我们只需要考虑A粒子的自旋矢量（红矢）的空间取向就够了。假设红矢出现在八个卦限中的概率分别为n1,n2…n8。由于红矢的位置在8个卦限中必居其一，因此我们有：

n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8 = 1。

现在，我们列出一个表，描述A、B的自旋矢量在3维空间可能出现的8种情况。下图中的左半部分列出了在这些可能情况下，自旋矢量在xyz方向的符号：



既然AB二粒子系统形成纠缠态，互为关联，我们便定义几个关联函数，用数学语言来更准确地描述这种关联的程度。比如，我们可以如此来定义Pxx(L)：观察x方向红矢的符号，和x方向蓝矢的符号，如果两个符号相同，函数Pxx(L)的值就为+1，否则，函数Pxx(L)的值就为-1。我们从上表左边列出的红矢蓝矢的符号不难看出，Pxx(L)的8个数值都是-1。然后，我们使用类似的原则，可以定义其他的关联函数。比如说，Pxz(L)，是x方向红矢符号，与z方向蓝矢符号的关联，等等。

在上图中的右半部分，我们列出了Pxx(L)，以及Pxz(L)、Pzy(L)、Pxy(L)的数值。

现在，贝尔继续按照经典的思维方式想下去：我们的小孙悟空A和B蹦出石头缝时，它们的两个自旋看起来是随机的，但实际上是按照上面的列表互相关联。然后，他们朝相反方向拼命跑。经过了一段时间之后，两个小孙悟空分别被如来佛和观音菩萨抓住了。如来和观音分别对A和B的自旋方向进行测量。因为L是不可知的隐变量，因此，只有关联函数的平均值才有意义。根据上面表中的数值，我们不难预测一下这几个关联函数被测量到的平均值：

Pxx = -n1-n2-n3-n4-n5-n6-n7-n8 = -1

Pxz = -n1+n2+n3-n4+n5-n6-n7+n8

Pzy = -n1-n2+n3+n4+n5+n6-n7-n8

Pxy = -n1+n2-n3+n4-n5+n6-n7+n8

让我们直观地理解一下，这几个关联函数是什么意思呢？可以这样来看：Pxx代表的是A和B都从x方向观测时，它们的符号的平均相关性。因为纠缠的原因，A、B的符号总是相反的，所以同被在x方向观察时，它们的平均相关性是-1，即反相关。类似的，Pxz代表的是从x方向观测A，从z方向观测B时，它们符号的平均相关性。如果自旋在每个方向的概率都一样，即：n1=n2=…n8=1/8的话，我们会得到Pxz为0。对Pzy和Pxy，也得到相同的结论。换言之，当概率均等时，如在相同方向测量A、B的自旋，应该反相关；而如果在不同方向测量A和B的自旋，平均来说应该不相关。

我们可以用一个通俗的比喻来加深对上文的理解：两个双胞胎A和B，出生后从未见过面，互相完全不知对方情况。一天，两人分别来到纽约和北京。假设双胞胎诚实不撒谎。当纽约和北京的警察问他们同样的问题：“你是哥哥吗？”，如果A回答“是”，B一定是回答“不是”，反之亦然。对这个问题，他们不需要互通消息，回答一定是反相关的，因为问题的答案是出生时就因出生的顺序而决定了的（这可相仿于Pxx=-1的情况）。但是，如果纽约警察问A：“两人中你更高吗？”，而北京警察问B：“你跑得更快吗？”，按照我们的经典常识，两人出生后互不相识，从未比较过彼此的高度，也从未一起赛跑。所以，他们的回答就应该不会相关了（这可相仿于Pxz=0的情况）。

现在再回到简单的数学：我们在Pxz、Pzy和Pxy的表达式上，做点小运算。首先，将Pxz和Pzy相减再取绝对值后，可以得到：

|Pxz-Pzy| = 2|n2-n4-n6+n8| = 2|(n2+n8)-(n4+n6)| （7.1）

然后，利用有关绝对值的不等式|x-y|

    关注 理论天体物理学