数学工程方程

【老班周记】工程数学概论，想说爱你不容易

虽然本学期课程不多但《工程数学概论》这门大学阶段最后一门由数学系老师开设的课程还是多多少少让大家有些不适应......

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工程数学概论，想说爱你不容易

虽然本学期课程不多

但《工程数学概论》这门

大学阶段最后一门由数学系老师开设的课程

还是多多少少让大家有些不适应...

小编：满脸懵逼上完周四的课...

小小编:东霖童鞋躺枪

据我了解，《工程数学概论》第一次出现在土木专业的培养计划里，是2014级培养计划里区别于以往最显著的变化之一，这也就带来了不少问题：

为什么开设这门课程？培养计划的修订者只给出了修订的结果，没有交待给学生开设本课程的原因。是之前学生在工程数学能力方面表现薄弱？还是后续学习中需要相应的知识储备作为基础？它和微积分、线性代数、概率论的区别和联系在哪里？如果这些有关“为什么”的问题困扰大家的话，实际学习时的动力便会打下折扣，修订者的良苦用心所起到的效果也就大打折扣了。

开设课程的老师没有针对土木专业开设工程数学的经验。这次给大家授课的老师都在“数学建模”教学和科研方面经验丰富，那么“数学建模”和“工程数学”有什么关系，工程数学的教学内容如何确定，如何在满足教学进度的同时合理安排教学计划，这些可能都是在摸索中进行的。

没有与课程同名的同步教材。这就带来可能要使用两本以上教材的问题，每本教材则只能取其中的部分章节。

工程数学的内涵

维基百科英文称，工程数学属于应用数学的分支，主要关注数学方法和计算技术在工程学科和工业界的应用；与工程物理、工程地质等工程技术学科一样，工程数学作为多学科交叉领域，其问题源于工程实践和理论的需求，其解决将提高工程问题的处理效率。

一方面，工程数学包含所有经典应用分析的绝大部分内容：包括：微分方程、实分析和复分析（含矢量和张量分析）、近似理论（渐近分析、变分法、摄动法、数值方法）、傅里叶分析、位势理论、线性代数和应用统计学等等。

另一方面，现代数值计算方法及其软件能成功用于解决工程科学中的问题如现象模拟和方程求解等，因此，数值方法与计算机算法也是当前工程数学的研究范畴。

从这个意义上说，本学期的课程内容仅仅只能涉及上述两个方面的部分内容。

为什么要学习工程数学

英国布里斯托大学等少数大学设有工程数学系，它称工程数学是一门应用数学来解决真实世界中问题的艺术，它完美的结合了数学理论、工程实践和科学计算，用以解决当今的技术挑战。在许多领域，如机器人技术前沿、新一代自主研发汽车、顶级全球金融研究机构，都涌现着工程数学家的身影。

钱学森曾经给出了“钱学森之问”的答案：要用现代科学技术体系结构培养和教育学生；让大学生懂得系统科学；让科学和艺术“联姻”；改革数学课程。钱学森明确提出，理工科数学课的课时数应做一定的调整，将数学课讲授的重点转移到让学生学会让计算机去求解，学会理解计算机给出的答案，知其所以然，理工科大学一二年级的解析几何、微积分、微分方程、复变函数论、偏微分方程等数学课的改革要面对人机结合这种科研方式。

钱学森回国伊始创办中科大力学和力学工程系，感到学生数学基础不牢，决定将毕业班学生延迟半年毕业，专门补习数学，所用的教材就是加州理工学院钱的导师卡门等编写的《工程中的数学方法》（后面有介绍）。

几本工程数学参考书

《工程中的数学方法》（卡门、比奥，1940；有中译本）

原书序中说，本书的主要目的是向读者介绍工程问题的数学处理方法。看起来，大学里学到的数学知识是足够的，但是大学生对于如何将给定的物理问题或工程问题表述成数学形式的能力（数学建模）并没有充分培养起来。本书选出某些具有代表性的工程问题，并且通过解决这些问题来表明如何应用数学。

目录介绍：常微分方程引论；关于贝塞尔函数的若干知识；动力学的基本概念；动力学的初等问题；保守系统的微幅振动；非保守系统的微幅振动；结构理论的微分方程；傅里叶级数应用于结构问题；周期现象的复数表示；过渡现象、运算微积；有限差分法在工程上的应用。

《应用数学》（钱伟长，1993）

钱伟长在书中指出科技工作中存在着运用数学工具的种种缺点：

不能正确处理物理量和数学量的关系；

不会运用锐利的武器量纲分析来处理问题，从而比较大小，决定取舍；

有时不会正确建立物理方程，甚至有的方程各项之间量纲不等；

不会处理坐标，不懂得在处理各项几何问题中运用张量分析；

不会处理实际数据，有些很好的实验数据，如果处理不当，便可能导致错误的结论；

在一些数值计算中，多数人不明白计算误差的积累，有一些计算机的计算结果，计算误差的积累业已超岀允许的范围；

在数值计算上，因为用计算机，常常把计算结果写成七八位数，其实原始的技术参数。一般只准确到三四位数，利用三四位数的原始数据竟然算出七八位数的结论，这是毫无意义的；

许多实验数据由于不正确的平均而造成误差很大的结论，更不会正确分析实验诸因素的误差从而进一步改进实验；

在用曲线匹配（即拟合）实际数据时，不知道使用最小二乘方法，只是通过拼凑达到目的；

不知道正确建立物理方程的过程，所建方程往往是错误的；

求根用拼凑的方法，很不正确；

在有限元计算展开以后，矩阵计算问题更严重，尤其是接近于零的不良矩阵经常发生。

针对这些问题，《应用数学》一书中一一给予解决，其中包含一般“阳春白雪”型的应用数学书籍里不会出现的章节：误差理论及简单数值计算；物理量及量纲分析；相似论；实验数据的整理；最小二乘法；物理方程的建立（即建模）；坐标变换和张量分析等等。全书20章，每一章都涉及非常实用的应用数学知识。

AdvancedEngineering Mathematics (10th Edition, E. Kreyszig, 2011)

全书共7大部分，分为25章，涉及常微分方程；线性代数与向量运算；傅里叶分析与偏微分方程；复分析；数值分析；优化与图形；概论与统计。

作者指出，面对新技术学科和问题的不断涌现，工程师必须从各种学科领域里提出问题并将其模型化，因此首先必须解决数学建模的问题；其次需要对数值计算强大能力的准确判断和合理使用；此外，还要领悟工程科学的“美”；最后，要清晰的表达工程问题的物理概念与基本结构。

*上述基本参考书的链接存在百度网盘中，请点击“阅读原文”进入，提取码：w8je

写在最后

虽然仅有两学分

虽然学习的过程是暂时痛苦的

但工程数学不仅将带给我们意想不到的收到

还将回馈我们未来无限的潜能。

因为，对于大多数人而言，用数学解决工程问题将伴随我们成长，助力我们飞翔。到那时，我们才能真正领悟今天付出的意义，体会工程与数学之美。