教你几招搞定孩子的应用题
你是否也害怕数学?你是否也解不出应用题?帮你终结数学应用题不会做、看不懂的问题快来看看吧...
你一定看过下面这幅图吧?
要问从小到大你最怕的科目是什么?
大多数人会回答:数学
要问数学那么多题型里,你最怕哪种?
大多数人会回答:应用题
现在,让我们来看看
4种经典的数学应用题类型吧
你是否都掌握了呢?
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大多数人会回答:数学
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4种经典的数学应用题类型吧
你是否都掌握了呢?
“ 鸡兔同笼问题详解”
鸡兔同笼是我国古代的著名趣题。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载着“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”翻译成通俗易懂的内容如下:鸡兔共有35个头,94只脚,问鸡兔各有多少只?经梳理,对于这一类问题,总共有以下几种理解方法。
1
站队法让所有的鸡和兔子都列队站好,鸡和兔子都听哨子指挥。那么,吹一声哨子让所有动物抬起一只脚,笼中站立的脚:94-35=59(只)
那么再吹一声哨子,然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:59-35=24(只)
兔:24÷2=12(只);鸡:35-12=23(只)
2
松绑法由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个,因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚。
那么,兔子就成了2只脚。则捆绑后鸡脚和兔脚的总数:35×2=70(只)
比题中所说的94只要少:94-70=24(只)。
现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,不断地一个一个地松开绳子,总的脚数则不断地增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,
因此兔子数:24÷2=12(只)从而鸡数:35-12=23(只)
3
假设替换法实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似,只不过是换种方式进行理解。
假设笼子里全是鸡,则应有脚70只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一只兔子替代鸡,则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。
兔子数=(实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数)
与前相似,假设笼子里全是兔,则应有脚120只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。每一只鸡替代兔子,则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量,即2只。
鸡数=(每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数)
将上述数值代入方法(1)可知,兔子数为12只,再求出鸡数为23只。
将上述数值代入方法(2)可知,鸡数为23只,再求出兔子数为12只。
由计算值可知,两种替代方法得出的答案完全一致,只是顺序不同。由替代法的顺序不同可知,求鸡设兔,求兔设鸡,可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤。
4
方程法随着年级的增加,学生开始接触方程思想,这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。
第一种是一元一次方程法。
解:设兔有x只,则鸡有(35-x)只
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
x=12
注:方程结果不带单位
从而计算出鸡数为35-12=23(只)
第二种是二元一次方程法。
解:设鸡有x只,兔有y只。
则存在着二元一次方程组的关系式
x+y=35
2x+4y=94
解方程式可知兔子数为y=12则可计算鸡数为x=23
“工程问题详解”
工程问题是小学分数应用题中的一个重点,也是一个难点。
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的:“工程问题”,一般是把工作总量作为单位“1”,因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是:工作总量÷工作效率=工作时间
例1
加工一批零件,甲单独做20天可以完工,乙单独做30天可以完工。现两队合作来完成这个任务,合作中甲休息了2 .5天,乙休息了若干天,这样共14天完工。乙休息了几天?例2
一池水,甲、乙两管同时开,5小时灌满,乙、丙两管同时开,4小时灌满。现在先开乙管6小时,还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满?
“ 利润问题详解
”
利润问题是一种常见的百分数应用题。商店出售商品,总是期望获得利润。一般情况下,商家从厂家购进的价格称为成本(也叫进价),商家在定价的基础上提高价格出售,所赚的钱称之为利润,利润与成本的比称之为利润率,商品的定价由期望的利润率来确定。商品减价出售时,我们通常称之为打折出售或打折扣出售,几折就是原来的十分之几。”
解答利润和折扣问题的应用题,要注意结合生活实际,理解成本、定价、利润、折扣之间的数量关系。将此类题转化成分数应用题解答,也可根据数量间的相等关系列方程解答。
1.利润率=﹙售价-成本﹚÷成本×100%
2.售价=成本×﹙1+利润率﹚
3.售价=原价×折扣
4.定价=成本×﹙1+期望的利润率﹚﹙利润率也称利润百分数,售价也称卖价﹚
例1
某商品按定价的80%出售,仍能获得20%的利润。定价时期望的利润百分数是多少?
解:设定价为“1”。
商品的实际卖价为:1×80%=0.8
商品的成本为:0.8÷﹙1+20%﹚=2
定价时期望的利润百分数为:﹙1-﹚÷=50%
答:定价时期望的利润百分数是50%。
例2
甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30%的利润定价,乙商品按20%的利润定价,后来两种商品都按定价的90%出售,共获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元?
解:设甲商品的成本是χ元,则乙商品的成本是﹙200-χ﹚元。
[﹙1+30%﹚χ+﹙1+20%﹚﹙200-χ﹚] ×90%=200+27.7
χ=130
200-130=70﹙元﹚
答:甲、乙两种商品的成本分别为130元、70元。
“ 行程问题详解
”
”
1
行程问题
路程、时间、速度是行程问题的三个基本量,它们之间的关系如下: 路程=时间×速度, 时间=路程÷速度, 速度=路程÷时间
时间相同时,路程比等于速度比
路程相同时时间比等于速度比的反比
例1
甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟?
分析:
解法1:全程的平均速度是每分钟(80+70)/2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟
解法2:设走一半路程时间是x分钟,则80*x+70*x=6*1000,解方程得:x=40分钟 因为80*40=3200米,大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是40+(40-37.5)=42.5分钟 答:他走后一半路程用了42.5分钟。
2
相遇问题速度和×相遇时间=相遇路程
例1
甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲每小时行56千米,乙每小时行48千米,两车在离两地中点32千米处相遇。问:东西两地的距离是多少千米?
分析:
解法1:甲比乙1小时多走8千米,一共多走32*2=64千米,用了64/8=8小时,所以距离是8*(56+48)=832(千米)
解法2:设东西两地距离的一半是X千米,则有:48*(X+32)=56*(X-32),解得X=416,距离是2*416=832(千米)
解法3:甲乙速度比=56:48=7:6,相遇时,甲比乙多行=(7-6)/(7+6)=1/13,两地距离=2*32/(1/13)=832千米。 答:东西两地间的距离是832千米。
3
追及问题速度差×追及时间=相差路程
4
火车过桥桥长+车长=路程 速度×过桥时间=路程
5
流水行船在行程问题中有一类“流水行船”问题,在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时,应注意各种速度的含义及相互关系:
静水速度:
静水中的速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度:
水流动的速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
顺流速度:
静水速度+水流速度=船速+水速=逆水船速+水速×2
逆流速度:
船在逆水航行时的速度 逆流速度=静水速度-水流速度
例1
一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时,回来时顺水,比去时的速度每小时多行驶8千米,因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?
分析:
解法1:第二小时比第一小时多走6千米,说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。顺水走1小时比逆水多走8千米,说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同,这段时间里的路程差是5-3=2千米,等于1小时路程差的1/4,所以顺水速度是每小时5*4=20千米(或者说逆水速度是3*4=12千米)。甲、乙两地距离是12*1+3=15千米
解法2:顺水每小时比逆水多行驶8千米,实际第二小时比第一小时多行驶6千米,顺水行驶时间=6/8=3/4小时,逆水行驶时间=2-3/4=5/4,顺水速度:逆水速度=5/4:3/4=5:3,顺水速度=8*5/(5-3)=20千米/小时,两地距离=20*3/4=15千米。 答:甲、乙两地距离之间的距离是15千米。
总结
行程问题常用的解题方法有
公式法
图示法
比例法
分段法 方程法
怎么样?
能解决这些类型的应用题了吗?
其实,只要掌握方法
数学
一定能成为你的优势
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比例法
分段法 方程法
怎么样?
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