神的难题

关于尺规作图的历史以及尺规作力三大难题之一的倍立体方体的传说。一道难题持续了二千多年无人解出，真的只是因为神的推托？...

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导读

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关于尺规作图的历史以及尺规作图三大难题之一的倍立体方体问题的传说。一道难题持续了二千多年无人解出，真的是因为神的推托？

只以圆和直线作为图形的核心不是从中世纪才有的，这可以追溯到希腊的柏拉图时代。

如对图形继续进行深入研究，自然而然地会发现光用直尺和圆规远远不够的。即使是古希腊时期，希腊的数学家们也已经思考出直线和圆以外的曲线，为此他们制造了新的绘图工具。最强烈反对使用直尺和圆规以外的新工具的人是哲学家柏拉图。柏拉图把直尺和圆规称为神圣的工具，把用除此之外的工具画出的任何曲线都鄙视为丑陋的东西。

这样做的结果，使得文明古国希腊在这一时期几乎停止了图形的研究。把几何学的研究关闭在只有圆和直线的象牙塔之中，而把做图限定在可以有限次使用直尺和圆规的范围内。如果在做图过程中使用其他工具的话，就如同相扑比赛中那样，如果使用摔跤手段，即使把另一个人摔倒了，也会当做犯规行为论处。

在做图工具上设置严格的限制，使得一些本来可以做出来的图形也无法完成。其中有三个有名的难题。

第一个问题是古老的2倍立方体的问题，即用直尺和圆规做比某一立方体的体积大1倍的一个立方体（见图6-6）。关于这个问题流传着各式各样的传说。其中一个传说是这样的。公元前400年左右的阿迪那流行着相当厉害的传染病，所以在提洛岛的神殿上，人们向神请示怎么做才可以消灾避难。神说：“如果把这个立方体祭坛扩大成2倍，传染病就会停止。”然而快速地建造起长、宽、高分别是2倍的祭坛来供奉神之后，并未能使传染病停止。困惑的人们再一次去请示神。神回答说：“2倍是说体积是原来的2倍，如果长、宽、高都是原来的2倍，那么体积是原来的8倍，那是不对的呀！”

然而，建造一座是规定体积的2倍的祭坛是困难的，也就是要长、宽、高是原来的³√2倍，即原来的1.2599……倍才行。只使用直尺和圆规来设计，这是一道难题。据说人们没有办法，最后只得求教于哲学家柏拉图的智慧来解决。

柏拉图听了这个问题，百思不解，只好说：“听到上述故事后有一种感觉，神是不论天南海北，都一视同仁。” 现在想来，大概神当初是想要长、宽、高是原来的2倍，体积是8倍的祭坛。然而因为这样并未使传染病的蔓延停止，为了推托，只好把要求改变了，说成把体积做成原来的2倍。其实，这是一道长、宽、高只稍微增加到大约1.2倍的问题，由于这个问题当时不能解决，所以就给传染病不会停止的说法找到了借口。

这是所谓的推托手法的一个问题，也有与此相似的其他故事。吕底亚国王克罗索斯在位时，曾野心勃勃地想吞并波斯国。为此，他向阿波罗神请示。神有“一攻打波斯国，就使大帝国灭亡”的告示。利令智昏的克罗索斯亲自率大军去攻打波斯国。长年战争大量耗费，使国家战败灭亡，自己也当了俘虏。愤怒的克罗索斯要找阿波罗神算账。可是神的回答是清楚的：“确实使大帝国灭亡，所说的那个灭亡的大帝国不是波斯国，实际是指你的国家。”这样以来，使克罗索斯无言以对，乖乖离去。

即使解决不了立方体2倍的问题，也不必担心会使其他国家灭亡，阿迪那的传染病也不会在这期间停止。但是这个问题谁也没有解决。是神巧妙地提出了这个谜。实际情况是许多学者和门外汉都力求解答这个问题，结果全部以失败而告终。大约在19世纪中期，有人首先证明这个问题用直尺和圆规是不能解答的，所以这个问题是二千多年间，令人们向往的苦恼问题。一道难题持续二千多年无人解出是很少见的。

当然，所谓“不能解”，指的是限于“有限次的使用直尺和圆规”这个条件。如果使用其他手段的话自可迎刃而解，这就又当别论了。

思想开放的笛卡儿从“只有直线和圆是神圣”的偏见中完全解放出来，创造了如图6-7所示的仪器工具解决了这个问题。

在图6-7中，直尺YZ和YX以Y点为支点，支点能够自由开闭。直尺BC和YX固定成直角，直尺CD和YZ固定成直角且可沿YZ边自由滑动；同样直尺DE和YX固定成直角且能够沿着YX边自由滑动；直尺EF,FG,GH..... 也同样可以沿直角边滑动。此刻张开∠XYZ使YE等于YB的2倍时停止角∠XYZ的继续张开，根据相似形原理下列公式成立：