调和级数的发散性与素数的无穷性漫谈（3）

在一侧经过困难的攀登而达到的山顶比起在另一侧沿轻松自在的道路上去应该更富有魅力。...

调和级数发散性的其他证明

我们前面介绍了文艺复兴时代意大利数学家蒙哥里（ M. Pietro）在1647年证明调和级数发散的方法漫谈欧拉与（调和）级数求和 (1)。后来著名的约翰·伯努利（John Bernoulli）及其哥哥雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli‎)在这个问题上也很有故事，我们将来叙述。但这三位不知道中世纪黑暗时期法国学者奥穆雷（Nicole d'Oreme，约1323-1382）早就给出过一个证明。

我们前面介绍了文艺复兴时代意大利数学家蒙哥里（ M. Pietro）在1647年证明调和级数发散的方法。

后来著名的约翰·伯努利（John Bernoulli）及其哥哥雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli‎)在这个问题上也很有故事。

伯努利家族是数学史上重要、不多的家族。中国历史上可能算得上重要数学家族的或许只有明末清初的“梅氏数学家家族”。梅氏家族自梅文鼎开始，祖孙四代人，有不少数学家。

哥哥雅各布是概率论的重要奠基人，著有《猜度术》，常用的伯努力分布就是以他的名字命名的。我们后文将要提到的伯努利数，也是以雅各布的名字命名的。我们在另一篇系列文章的主角之一——双纽线，伯努利也研究过。

弟弟约翰与雅各布相差13岁，一开始雅各布教弟弟约翰学数学，倾囊相授。但弟弟的数学才能很快就超过了哥哥。后果是，兄弟之情的小船说翻就翻。

约翰在许多问题上有贡献，如导致变分法产生的最速降线问题的求解。约翰在培养学生方面很有贡献。不但为自己家族培养数学家，还有才能超过老师的学生欧拉——也是我们文章的主角，以及有钱的法国人罗必塔（Marquis de l'Hôpital）。约翰出卖知识产权，教罗必塔（Marquis de l'Hôpital）学数学以获得高额的工资。后者则把约翰所教的内容写成著作《阐明曲线的无穷小分析》（Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes），在1696年发表。其中著名的罗必塔法则，实际发明权所有者为约翰。在罗必塔发表自己的法则后，约翰抗议，但没有人相信他。直到1922年，在巴塞尔找到证据。

“既生瑜，何生亮”，雅各布和约翰两位兄弟之间明争暗斗，竞争、嫉妒夹杂在兄弟情中。

约翰的成名就是基于雅各布的耻辱。雅各布在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？伽利略曾错误地推测悬链线是一条抛物线。许多数学问题的解决，在工具准备好后，往往是水到渠成。敏锐的数学家能嗅到这个解决时机。雅各布已经感觉到应用当时在发展中的微积分方法也许可以解决这一问题。

但雅各布苦苦思索，没有任何结果。然而弟弟约翰却找到了答案——在合适的坐标系下，悬链线是双曲余弦函数。约翰还说：

我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）……没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息……不过第二天早晨，我就满怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。

后来，约翰反过来挑战哥哥。历史上著名的挑战问题——最速降线问题——就是约翰发布在莱布尼兹的杂志《教师学报》上，公开挑战，箭指方向无疑是雅各布。所谓最速降线问题就是问：一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。约翰还顺带将问题邮寄给牛顿。当然，从造币局下班回到家，已经疲惫不堪的牛顿工作到凌晨四点，也解决了问题，匿名邮寄给约翰（但约翰很容易判断出“雄狮的利爪”）。

然而，在调和级数这个问题上，兄弟两却互相合作。（为避免过多数学，这部分将来再叙述....）

蒙哥里的方法是将调和级数中的毎三项进行合并、估计，而奥穆雷的方法则是逐次每2^n个项进行合并、估计。具体来说，他注意到

奥莱姆的这个证明也是现在教科书中通用的方法。 `



利用一点简单的微积分，可以很快通过比较调和级数与广义积分而得到一个直接证明：




调和级数发散的速度

调和级数发散实际上是一件令人吃惊，违反直观的事情。

我们上面注意到只要把调和级数的项增加任意一个阶





则前n项之和S_n超过400。这等价于要求n>exp(400)。这是一个很巨大的数字。即使穷其一生，三江方士也计算不到这一项。也不能如三江方士所说，归咎于没有高明的计算机和计算技术，即便利用最好的计算资源，要逐项加也是不可能完成的任务。

调和级数的发散性的证明是数学史上的大事情。就如所有数学知识一样，如果要从头开始，其实都不是简单的事情。三江方士错在哪里呢？错就错在没有去学一些已经称为常识的数学知识，没有去继承人类文明的优秀成果，而是闭门造车，把有限的生命放在对已经熟知的事实的证明。子曰：学而不思则惘矣，思而不学则怠矣。三江方士是思而不学，令人可惜。万精油在以有涯随无涯|漫谈欧拉与（调和）级数求和 (2)中就表达了类似的意思。

不过，假设三江方士面对的是一个未解决的难题，他的这种探索倒是反映了人类认知的一个侧面。子曰：学而不思则惘矣，思而不学则怠矣。三江方士是思而不学，令人可惜。不过，假设三江方士面对的是一个未解决的难题，他的这种探索倒是反映了人类认知的一个侧面。

三江方士提出的猜想是基于他的许多直接数字证据。数学上很多证据，例如，很多人相信哥德巴赫猜想、黎曼猜想是对的，就是基于人们已经验证了许许多多数，多到目前计算机所验证的书都是对的。但这里有危险吗？假设有一个智力、数学更加发达的人类隐居在我们身边，是否他们也如我们哂笑三江方士一样在哂笑我们对哥德巴赫猜想、黎曼猜想的孜孜不倦的证明呢？

专门介绍黎曼猜想的普及图书《素数之恋》中介绍了一位名叫安德鲁的数学家认为的黎曼猜想不真的一个可能理由。他说，有个S函数可以反映黎曼ζ函数的部分性态。目前S函数的值只计算到3.2，如果计算到100，则黎曼猜想就可能危险了。但为了达到这么大的值，需要在临界线上探索到远远超过我们能力的 10^(10^10000)。

调和级数与素数个数

发散的调和级数意味着什么？这有很多有趣的娱乐数学问题。比如堆平板，一点点往外推，问最多能推出多远。其数学答案是，可以推出无穷多远，原因就在于调和级数的发散性。

我们这里讲讲素数与调和级数。

欧拉关于素数的一个重要发现是如下的公式



根据这个公式，调和级数发散意味着素数有无穷多个。因为若素数只有有限多个，则上面的公式的左边的分母为有限乘积，从而下有界，与右边的求和为无穷矛盾。

你可能会说，这样来证明素数个数是无穷的方法，远不如欧几里得的反证法那样简洁易懂。然而，就如柯朗（Richard Courant）和罗宾斯（Herbert Robbins）在其《数学是什么》中所评论的：“在一侧经过困难的攀登而达到的山顶比起在另一侧沿轻松自在的道路上去应该更富有魅力。”其实，不同的证明也如不容的登顶道路，可以看到沿途不同的风景，领会山顶的妙处。

怎么理解欧拉的公式呢？我们先复习下等比级数的求和公式。假设|q|

    关注 可乐数学