【第53期数海领航·数海趣史】科普向-那些神秘的数学常数（二）

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数学的奥秘是无穷无尽的，就像璀璨星空，你穷极一生也无法窥尽其妙。

今天我们为大家带来其他的神秘而又熟悉的数学常数，以及它们相关的故事~

把一根线段分为两段，分割点在什么位置时最为美观？分在中点处，似乎太对称了不好看；分在三等分点处，似乎又显得有些偏了。人们公认，最完美的分割点应该满足这样一种性质：较长段与较短段的长度比，正好等于整条线段与较长段的长度比。这个比值就叫做黄金分割，用希腊字母 φ 来表示。若令线段的较短段的长度为 1 ，则 φ 就满足方程 φ = (1 + φ) / φ ，可解出 φ = (1 + √5)/2 。

在美学中，黄金分割有着不可估量的意义。在那些最伟大的美术作品中，每一个细节的构图都充分展示了黄金分割之美。在人体中，黄金分割也无处不在——肘关节就是整只手臂的黄金分割点，膝关节就是整条腿的黄金分割点，而肚脐则位于整个人的黄金分割点处。

在数学中，黄金分割 φ 也展示出了它的无穷魅力。例如，在正五角星中，同一条线上三个点 A 、 B 、 C 就满足 AB : BC = φ 。再比如，在 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 中，相邻两数之比将会越来越接近于 φ 。每一个实数都能写成 a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + …)) 的形式，其中 a0, a1, a2, … 都是整数。我们就把 [a0; a1, a2, a3, …] 叫做该数的连分数展开。和小数展开比起来，连分数展开具有更加优雅漂亮的性质，这使得连分数成为了数学研究中的必修课。

在 1964 年出版的一本连分数数学课本中，数学家 Khinchin 证明了这样一个惊人的结论：除了有理数、二次整系数方程的根等部分特殊情况以外，几乎所有实数的连分数展开序列的几何平均数都收敛到一个相同的数，它约为 2.685452 。例如，圆周率 π 的连分数展开序列中，前 20 个数的几何平均数约为 2.62819 ，前 100 个数的几何平均数则为 2.69405 ，而前 1 000 000 个数的几何平均数则为 2.68447 。

目前，人们对这个神秘常数的了解并不太多。虽然 Khinchin 常数很可能是无理数，但这一点至今仍未被证明。而 Khinchin 的精确值也并不容易求出。 1997 年， David Bailey 等人对一个收敛极快的数列进行了优化，但也只求出了 Khinchin 小数点后 7350 位。你能找出下面这个数列的规律吗？

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, …

这个数列的规律简单而又有趣。数列中的第一个数是 1 。从第二个数开始，每个数都是对前一个数的描述：第二个数 11 就表示它的前一个数是“ 1 个 1 ”，第三个数 21 就表示它的前一个数是“ 2 个 1 ”，第四个数 1211 就表示它的前一个数是“ 1 个 2 ， 1 个 1 ”……这个有趣的数列就叫做“外观数列”。

把全体正整数从小到大依次写成一排，并在最前面加上一个小数点，便得到了一个无限小数 0.1234567891011121314… 。这个数是由英国统计学家 Champernowne 于 1933 年构造出来的，他把它命名为 Champernowne 常数，用符号 C10 表示。与其它的数学常数相比，Champernowne 常数有一个很大的区别：这个数仅仅是为了论证一些数学问题而人为定义出来的，它并未描述任何一个数学对象。







当然，有趣的数学常数不止于此，数学路途漫漫，然而风景正好，你可愿与我，携手同行？

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