负负得正

司汤达学数学的故事也启示我们，数学教师确实需要正视学生所提到的各种“为什么”。...

文 | 汪晓勤

美国诗人奥登（W.H.Auden, 1907~1973）曾武断地说：“负负得正，其理由我们无须解释！”奥登的话暗示我们：许许多多的人在徒劳地寻求“负负得正”这个“悖论”就让他尝到了苦头。事实上，自从负数 概念进入数学课本以来，人们就没有停止过“负负得正”合理性的质疑。“负负得正”成了一个教学难点。大数学家F·克莱因（F.Klein.1849~1925)曾对负数的教学提出忠告：不要试图去证明记号法则的逻辑必要性，”别怕不可能的证明讲得似乎成立”。

19世纪法国著名作家司汤达（Stendhal,1783~1842)小时候很喜爱数学，用他自己的话说，数学是他的“至爱”。但当老师教到“负负得正”这个运算法则时，他一点都不理解，他希望有人能对负负得正的缘由做出解释。可是，他所请教的人都不能为他释此疑问，而且，司汤达发现，他们自己对此也不甚了了。

司汤达的数学补习老师夏贝尔（Chabert）先生在司汤达的追问之下感到十分尴尬，不断重复课程内容，说什么负数如同欠债，而那正是司汤达的疑问所在：“一个人该怎样把10 000法郎（注：2002年前法国的法定货币单位）的债务与500法郎的债务乘起来，才能得到5 000 000法郎的收入呢？”最终，夏贝尔先生只得搬出大数学家欧拉和拉格朗日来：

“这是惯用格式，大家都这么认为，连欧拉和拉格朗日都认为此说有理，我们知道你很聪明，但你也别标新立异嘛。”

其实，欧拉对等式(－1)×(－1)=1是作过“证明”的。他的思路是这样的：(－1)×(－1)要么等于1要么等于－1；但通过证明，(－1)×1=－1，所以(－1)×(－1)=1。可想而知，就算是夏贝尔搬出欧拉的证明，依然于事无补。

司汤达所就读的格勒诺布尔中心学样的数学教师迪皮伊(Dupuy)先生对于司汤达的提问，“只是不屑一顾地莞尔一笑”；而靠死记硬背学数学 的一位高才生则对于司汤达的疑问“嗤之以鼻”。

可怜的司汤达被“负负得正”困扰了很久，最后，在万般无奈之下只好接受了它。他一直将数学视为 “放之四海而皆准的真理”，认为数学可用来“求证世间万物”，可是，“负负得正”动摇了他对于数学与数学教师的信心：

“究竟是迪皮伊先生和夏贝尔先生在骗我呢（就像到我外公家来做弥撒的那些神甫一样），还是数学本身就是一场骗局呢？我弄不清楚。哎！那时我多么迫切希望有人能给我讲讲逻辑学或是寻找真理的方法啊！我渴望学习德·特拉西先生的《逻辑》！如果当时我能如愿以偿，也许今天我就不是现在的我了，我会比现在聪明得多。

当时我得出的结论是：迪皮伊先生很可能是个迷惑人的骗子；夏贝尔先生只是个追慕虚荣的小市民，他根本提不出什么问题。”

无独有偶，“负负得正”这个法则也让露丝·迈克奈尔（Ruth McNeil)放弃了数学转而去学德语。可想而知，历史上也不知有多少像司汤达这样聪明的孩子对数学老师甚至数学本身感到失望。

司汤达学数学的故事也启示我们，数学教师确实需要正视学生所提到的各种“为什么”。美国数学史家和数学教育家M·克莱因认为，“如果记住现实意义，那么负数运算以及负数和正数混合运算是很容易理解 的。”他解决了曾经困扰司汤达的“两次负债相乘，结果为收入”的问题：一人每天欠债5美元。给定日期（0美元）3天后欠债15美元。如果将5美元的债记成-5，那么每天欠债5美元，欠债3天，可以用数学来表达：3×(－5)。同样，一人每天欠债5美元，那么给定日期（0美元）3天前，他的财产比给定日期的财产多15美元。如果我们用-3来表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为(－3)×(－5)=+15。

苏联著名数学家盖尔范德（I.Gelfand, 1913~2009）则作了另一种解释：

3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元；

3×(－5)=－15：付5美元罚金3次，即付罚金15美元；

(－3)×5=－15：没有得到5美元3次，即没有得到15美元；

(－3)×(－5)=+15：未付5美元罚金3次，即得到15美元。

如果司汤达生活在20世纪，遇见良师如M·克莱因和盖尔范德，那么，他对数学的信赖、推崇和热爱一定会保持终生。

* 本文摘自《数学阅读精粹（第一册）》，江苏凤凰教育出版社出版，2016年6月。原载于《数学文化透视》，上海科学技术出版社出版。微信号：DailyMathFun以数学学习为主题，以传播数学文化为己任，以激发学习者学习数学的兴趣为目标，分享有用的数学知识、有趣的数学故事、传奇的数学人物等，为你展现一个有趣、好玩、丰富多彩的数学世界。

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