第38期 等腰三角形与分类讨论节选——坐标系中的等腰三角形

 

4.坐标系中的等腰三角形综合题

    坐标系中，给定两个点，再找一个点使得这三个点构成的三角形是等腰三角形，是与等腰三角形有关的综合题常见题型，可以和各种函数结合起来，也是抛物线与直线型问题的常见题型。解决这类问题的关键就是对等腰三角形进行分类讨论，

例 已知A（0,3）, B（4,0），在坐标轴上存在点P使得△ ABP是等腰三角形，求点 P的坐标.

(1）A为顶点，此时AB为腰，以A为圆心，AB半径画弧，与坐标轴相交，如图，







易得P1（0，8），P2（-4，0），P3（0，-2）

（2）B为顶点，此时，AB为腰，以B为圆心，AB为半径画弧，与坐标轴相交，如图，





易得P4（0，-3），P5（9，0）

（3）A,B均不为顶点，此时AB为等腰三角形的底边，所有与A，B构成等腰三角形的点都在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线与坐标轴相交即可.如图





与（1）（2）解决方法不一样，在坐标轴上。（1）（2）往往可以直接写出答案，垂直平分线与坐标轴的交点P6，P7可以有两种办法求解：

方法一，勾股定理。

设OP6=x,则BP6=AP6=4-x,在直角△AOP6中，由勾股定理可得x²+3²=（4-x）²，解得x=7/8,则P6（7/8，0）

设OP7=y，则BP7=AP7=y+3,,在直角△AOP7中，由勾股定理可得y²+4²=（y+3）²,y=7/6,则P7（0，-7/6）

方法二，求直线与与x轴于y轴的交点。

由题意，可得AB中点坐标（2,1.5），直线AB为y=-3/4x+3,设AB垂直平分线为y=kx+b,则k=4/3,把（2,1.5）代入得y=4/3x-7/6,则此直线与x轴交点（7/8，0）即为P6，与y轴的交点为P7（0，-7/6）.

综上所述，一共有7个点满足条件，分别是P1（0，8），P2（-4，0），P3（0，-2），P4（0，-3），P5（9，0），P6（7/8，0），P7（0，-7/6）.