独创高等数学多变量分析法

“多变量分析法”x0a为本公众号团队成员x0a邹群老师独创的精髓之二....

学过高等数学的同学都会认为：高数没那么简单！

其实，高等数学也没你想得那么难，尤其到了高等数学下册，你只要记住下面的公式就好啦~

多元函数微积分= 一元函数微积分 + 多变量分析法.

“多变量分析法”是“化繁为简学习法”独创的精髓之二. 它研究的内容是针对变量从单变量到多变量、从静态变量到动态变量处理上的一些规律. 我们不能说此分析已经很透彻，但是可以肯定大家只要掌握了它，高等数学中的许多概念将理解得更深刻，尤其是许多综合题的思路由此将更清晰，许多看似不同的题目，实际上却有相同的多变量分析的背景.

总之，此中句句有深意！

1、
数学中量的分类

第一类：常量. 任何时候均取固定的一个值的量称为常量. 它可以是一个具体的数，也可以用字母代替.

第二类：变量. 研究函数等问题时，一个量可以取不同的值，它有取值的范围，往往用一个字母表示，称为变量. 如函数 y=2x² 中的x与y.

变量从状态上又分为两类：静态的变量和动态的变量.

若仅研究变量取不同的具体值的情形，则称变量为“静态的变量”，如研究函数y=f(x)当自变量x取不同值时因变量y的取值情况，中学所学的变量均为此类.

“动态的变量”指的是处于无限运动变化中的变量. 简而言之，只要涉及极限与无穷小（无穷大）的量均为此类. 实际上，求导、微分、积分、重积分，无一不是求极限（或无穷小）.

具体体现在：

为了方便，下文将“静态的变量”直接称为“变量”，而将“动态的变量”称为“动量”，因此下文中将量看作三类：常量、变量、动量.

实际上，为了让大家更加直观地理解三类量，可以做一个比喻：某个人代表“量”，当他静止时称为“常量”；当他被允许在一定范围内活动时，他可以处于此范围内的任一个位置，假若我们只关心他在某个时刻处于某个位置，可以称他为“变量”；假若他永远不停地运动下去，我们关心的重点是他最终朝着一个位置运动还是毫无规则地运动，总之关心他运动的最终趋势，此时称他为“动量”.

可见，一个量到底属于哪一种类型，归根结底取决于研究的侧重点.

2、三类量之间的关系与转化

三类量首先都是“量”. 变量是“量”可取许多不同的常量值时的一种“代表”表示法；而变量在不断运动时便成为动量. 总之，三类不同的量代表量的三种不同状态.

既然上文说过，量的分类归根结底取决于研究的侧重点，所以三类量就可以随着研究过程的变化而变化，也就是说，三类量常常可以相互转化：动量有时候需要暂时作为一般变量来研究（如ε-δ语言）；变量取定某值时为常量；常量未知需要确定其值的时候可以视为变量，而变量若研究其动态变化趋势则可以更好地描述其性质（如研究函数的单调性）.

再次强调一下，量的变化关系是一种“辩证的”关系，不能以机械刻板的态度对待之. 很多童鞋在做题时不理解有的量此时作变量、彼时作常量，究其原因，是因为对每一个阶段研究的侧重点不清晰的缘故.

3、数学中处理多个变量的原则在同一个式子中若有多个变量，处理它们时有以下两个大原则：

原则一 当多个变量平行（指它们之间没有函数关系，仅有四则运算关系）时，原则是“逐一处理”. 即在逐个处理变量或动量时，其他的量一律暂时“当作”常量来处理；当多个变量有函数复合关系时，原则是“逐级处理”，即只能一级一级地处理，不能“越级”，两个原则的具体操作我们今后用专题来介绍.

注意，正是由于变量的“逐一处理”与“逐级处理”，由此可以派生出下列原则，即同一符号在同一处理过程中只能表示一种意思，也只能呈现一种状态.

原则二 量的处理的顺序是导数（微分）从外到内，积分（重积分）由内到外.

求复合函数的导数与重积分的计算即为典型的例子，今后我们用专题来介绍.4.变量按照取值的范围分类

(1)离散型 变量取值的范围是有限个或无限可列个数，如数列.

(2)连续型 变量取值的范围是无限不可列个数，如定义域为区间的函数.

离散型与连续型变量是特殊性与一般性的关系，做题时可以互相利用.连续型变量可以取其取值区间的子数列，因此可以得到离散型变量—数列的性质，证明连续型变量极限不存在，可以通过它的两个不同子列得到不同极限来证明，求级数的和时就常用到这样的方法.

另外大家必须要看到，有时候离散型变量通过转化为连续性变量来研究反而会使得问题豁然开朗，为什么呢？是因为只有连续型变量才有可导、可微、可积这样的“分析”性质，比如级数的和通过将它构造成积分的定义式来求就是一个典型实例.

5.三类量的“活动范围”

6.量的替换原则

在多变量分析中，常常会遇到“变量替换”的问题.这里讲的量的“替换”，并非指量的“转换”，它指的是不同的量替换后等式保持不变.要使得等式成立，就要知道等式成立的要求是什么.

1) 等量替换原则

只要是相等的量，无论是常量、变量还是动量，都可在任何情况下无条件替换.注意替换要彻底，即等式中的同一个量必须统一地全部替换掉.