博学睿思高中篇——函数与方程：数学最基础知识

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语...





函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）,然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

从本质上讲，函数与方程没是没有什么区别,如函数y＝f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。

典型例题1：

很多时候,在高考数学学习中，如果我们能实现函数与方程的互相转化、接轨,就能达到解决问题的目的。

我们知道,哪里有等式,哪里就有方程；哪里有公式,哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲,密切相关。

函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。

典型例题2：典型例题3：函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：

遇到变量,构造函数关系解题；

有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析；

含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系；

实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答。

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