积分干什么?

 

积分干什么?从路程说起我们都知道,路程=速度×时间。但这个等式是在速度不变的情况下才能有意义。如果速度是不断...

积分干什么?
从路程说起

我们都知道,路程=速度×时间。但这个等式是在速度不变的情况下才能有意义。

如果速度是不断变化的,比如速度V=9.8t,其中t以秒为单位,速度以米/秒为单位。下表能表示速度与时间的对应关系:
事实上,任何时刻,物体的速度都是确定的。因此,这个物体的运动状况是完全确定的。于是我们可以部:物体运动10秒,将走多远?

对于以不断变化的速度运动的物体,考虑它一段时间运动的路程。这是积分干的事。
再说面积

长方形的面积是我们再熟悉不过的了。

我们把长方形放到坐标系中
这个长方形的面积就是ab

现在变一下:
梯形!它的面积我们还是会算!

再变一下:

我们再来看下面的图:
绿色部分的面积怎么求呢?我们通常把这个叫做曲边梯形。求这样的曲边梯形的面积,是积分要干的事。
总之,研究某种连续变化的过程中,微小的变化的累积总效果,就是积分要干的事。比如在微小时间段内速度发生了微小变化,这种变化不断累积,对路程发生的总效果如何?这就是积分要干的事。
值得一说的是,很多问题,比如上面说到的求路程的问题,最终都可抽象为求曲边梯形的面积。如何求出这样的面积呢?我们的办法是不断逼近它!越来越接近它。所以,下一课,我们就来说清楚,所谓“越来越接近”,以至于“充分接近”到底是什么意思。


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