让向量多“飞”一会儿【师者智慧25】

 

让向量多“飞”一会,很有想象力,高中数学的许多问题,如果有向量的介入往往会收到意想不到的效果...

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向量进入中学是整个数学教育比较大的一次变化,从根本上改变了高中数学的结构,特别是在立体几何中,由原来纯综合几何的处理方式,发展到与向量并存的一种方式,现在逐渐变成了以向量为主的一种方式,我们在教学中要不断提升对向量的认识,不断探索向量刻画概念、图形、算法的本质.

让向量多“飞”一会儿,帮助学生去了解一个新的工具、一种新的思想,一个新东西.这个东西在计算上和过去的计算,数的计算、多项式的运算是不一样的.这个东西可以帮助我们刻画几何图形,提高空间想象能力,向量突出的好处就是它通过直线的方向向量、平面的法向量,能更本质地认识几何图形.引进向量并没有降低对空间图形的把握,是我们看这个图形的角度不一样了,比方说两条异面直线的夹角、公垂线等,在纯综合几何里,看起来的确就觉得比较困难,但引进了方向向量、引进了法向量以后,能够很容易的把握,能够看得比以前更清楚了、更本质了.另外向量还有丰富的物理背景.所以我们没有必要担心引入向量后会削弱空间想象能力的培养.

让向量多“飞”一会儿,帮助学生更直观的理解概念.比如二面角,在综合几何是这样定义的,首先在两个平面的交线上任取一点,过这一点在这两个平面上做与这条直线垂直的两条射线,这两条射线所成的角,叫二面角的平面角.从综合几何的角度来说,这个定义有很多的疑惑,第一个就是任意点,我必须有一个定理来保证任意点得到的角度是一样的.第二个就是为什么要取垂线?那么过这一点的线好多,为什么单单就选择选垂线?所有这些不很直观.有了向量以后,可以这样定义,每一个平面也像直线一样有方向(即方向向量),那么两个方向向量成的角,就是这两个平面的夹角(或其补角),那么这样的一种认识就加大了直观的力度,才是刻画两个平面角度最根本的、最重要的一种切入.我们谈空间想象力不能脱离我们要研究的对象,不能脱离我们要解决的问题.应该重视自由向量的认识,这个向量是自由的是什么意思,自由向量这个概念不是那么容易就建立起来的,需要我们教学的整个过程中不断的帮助学生们去理解.

让向量多“飞”一会儿,帮助学生掌握向量的方法,把处理问题的向量方法,当做一种主要方法.向量提供给我们解决空间问题的一个所谓通性通法,一个基本思路.比如说距离问题,包括两点的距离、点到直线的距离、平行直线的距离、点到平面的距离、平行平面的直线到平面的距离、平行平面的距离和异面直线的距离.有了向量,解决方法就完全统一起来了.点到直线的距离,第一先刻画求距离的对象,直线,直线上一点,一个方向向量;第二步确定法向量,就是待定系数解一个不定方程,所以找到直线的法向量;第三步确定一个求距离的那个参照物,就是在直线上一个点到这个点构成一个向量;第四计算投影,用造出来的向量向法向量做点乘;第五步求绝对值.这样的一个思路在解决任何一个距离中都是这样的,是处理距离问题的一个通性通法.角也是一样,到底有哪些角要求,怎样找到解决角的问题的通性通法?就这样一类一类的解决问题,距离问题、角度问题、垂直问题、平行问题.

让向量多“飞”一会儿,依托向量来帮助学生提升数形结合能力.向量既是代数又是几何,成为代数和几何一个天然的桥梁.处理好空间向量与立体几何、与立体几何初步、与平面向量的关系.讲空间向量和立体几何的时候,我们仍然要关注空间的想象力.谁决定平面?怎么决定平面?怎么决定空间的直线?不是讲了向量,会形式化的计算就行了,就不要空间想象力了.

俗话说,磨刀不误砍柴工,让向量多“飞”一会儿,让学生把数学最本质、最根本的东西记牢,打好根基,给学生 的思维插上飞翔的翅膀,在浩瀚的数学海洋里自由翱翔.

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