方程量守恒碰撞

学法高考改革第一刊——动量专题

听说今年物理选修3-5变成必考了？我不禁响起了量子力学般的笑声：ћћћћћћћћћ。因为：我毕业啦...

听说今年物理选修3-5变成必考了？我不禁响起了量子力学般的笑声：ћћћћћћћћћ。因为：我毕业啦！

高三的同学们听到这个消息，可能顿感悲伤，然而待你读完本篇文章，或许会觉得，啊，动量是多么有趣！妈妈再也不用担心我的学习！（雾）

为什么引入动量

引入动量最开始是在研究碰撞问题的时候。如果你深入学习动量，会发现它总是跟“碰撞”这个词连在一起。第一个把质量和速度乘一起的当然又是牛顿老先生。

实际上，经典力学的核心之作牛顿第二定律也可以写作动量形式，那就是F=dp/dt，看起来似乎只是作了一个简单的变换，实际上这个公式比F=ma深刻得多，比方说它在相对论中也是适用的，而F=ma就不可以了。

当然，爱因斯坦在写相对论的时候实际上要做一个抉择，到底动量守恒成不成立。爱因斯坦认为动量，能量守恒，光速不变，以此推导了相对论，实际上也是可以不认可动量而认可F=ma的……至于为什么认可动量呢？一方面物理学家都比较喜欢守恒量，另一方面这样计算起来比较方便，狭义相对论也很快创立起来了。幸运的是，实验数据和狭义相对论相吻合。我们有理由相信，曾有人以F=ma为基础建立高速物理的理论的，可惜又难算还跟实验不一样，于是这些工作就被淹没在历史中了。

动量相关知识

动量定理：∫Fdt=p′-p

这实质上就是把牛顿第二定律积了个分，对于一堆质点整体考虑的时候比较有用。因为等号左端的F是不包含内部的作用力的。特别地，当F≡0时（≡表示恒等于），有

动量守恒定律：p′=p

注意上面两式都是矢量式，好，那么当F的某分量为零时，有某方向动量守恒，比如一个同学投篮的时候另一个同学又扔了一个球在空中撞到了前一个球，这个时候两球在水平方向动量是守恒的（外力沿竖直方向）。

这里可以解释一下为什么动量总跟碰撞联系在一起了。还是上面这个例子，如果两个球的气都很足的话，你会发现它们碰撞的时间相当短，而合外力（重力）是个有限大小的量，合外力冲量（冲量I=∫Fdt）十分小，可以忽略不计，于是我们认为两个球在任意方向都动量守恒了。这种过程就叫碰撞过程。

恢复系数：e=(v1-v2)/(v2′-v1′)

这么久过去了，我已经不记得书上有没有讲这个东西，但你一定要知道这是个超级好的东西。它的引入主要在二体碰撞的时候，例如弹珠打弹珠。给定两个物体的质量、初速度，求其碰后速度。这里有v1′和v2′两个未知数，需要两个方程。同学们比较喜欢列的就是动量守恒方程和机械能守恒方程。这时可以解出v1′和v2′，具体是怎么样的我就不写了，大家随便找本相关书籍都有。而且这组解也很好背，适当地写出来，发现v1′的表达式中的角标恰为12122112，你看，是不是很像同学们军训的时候齐步走？

一般情况下，机械能是不守恒的，这时就需要恢复系数来当一个方程，这玩意也是牛顿引入的。注意了，机械能守恒时恢复系数为1，完全可以用它替代机械能守恒的方程，（因为能量方程中速度是平方项，而这个是一次项），你会发现方程一下子好解了，不用死记硬背1212啥啥啥的了！

理论上所有二体碰撞就用一个动量守恒，一个恢复系数，两个方程就能解了，题目乍看不同，其实全是套路。

延伸拓展

说起来以前有一种很火的题，就是“子弹打小孩”问题。后来说这不人道，于是演变为了子弹打木块。如果子弹进入木块，则是完全非弹性碰撞；如果子弹穿过木块，你仔细想一想这个过程也是动量守恒的，毕竟子弹穿过去就是一瞬间的事。这个过程却不是机械能守恒的，巧的是不少题目中产生的热能是可以计算的，它往往假定了作用力恒定，然后用它乘以木块宽度得到产热，这样可以列能量守恒方程了。

还有不少题时隐藏了动量守恒的存在，例如光滑水平面上的斜面和木块。如果你考虑它们之间的相互作用，或许很难搞，然而记住它们在水平方向动量守恒，或许能为解题带来意想不到的效果。

生活应用

要知道这篇文章的最主要目的不是让你多会做动量题（这么点篇幅也不可能），而是让你不要害怕动量这个多年以来都不考的概念。所以在这里我就不举什么例题了，不如来谈谈生活应用来增加大家的兴趣。其实它在我们生活中的应用是非常广的。比如一位比较壮实的同学呼啸生风地向你跑来，你可以形容他“裹挟着一股巨大的动量而来”。再比如你从二体碰撞问题已经发现，两个物体碰撞时动量大的决定最后质心的运动方向，那么你在打篮球时，面对比你质量大许多的威猛内线，若想挤动他，完全可以“质量不够，速度来凑”，用更大的速度获取更大的动量。

天冷的时候，在没有暖气的武汉，为了制造热量，你也可以运用完全非弹性碰撞。具体来说，可以两个同学在走廊上拉开一段距离，一声令下，全速冲刺跃起在空中对撞，然后紧紧地抱在一起……一定注意要抱住！否则弹开后动能就不能尽量转化为内能了！想想就很暖和啊……

动量守恒定律还可以给你生存的技能。如果你以后来北方上大学，冬天在冰面上滑倒了，假设冰面足够光滑，这时你要如何脱离冰面呢？正解是看准最近的岸边，然后随便把什么东西（比如脱下来的外套、围巾、书包里的一大沓草稿纸甚至不想再看的高数书）然后根据动量守恒，你就会滑出冰面。至于丢出去的东西……如果比较贵重就找跟长点的棍子拨回来，如果丢掉的是整本还没做的高三寒假作业就算了（老师我的作业本掉到冰窟窿里去了）。

生活中许多问题也可以解释。比如为什么从你出生到现在重力给你那么多冲量你还没有掉到地底下去呢？因为地面、椅子、床等等也给了你等值相反的冲量。再仔细考虑椅子啊、床啊等等，也是靠了地面的冲量，那么地面又是靠更底下的物质……以此类推，你会发现如果地球不是圆的奖无法解释为什么整个大地没有不断下陷的问题，于是我们从逻辑上论证了“天圆地方”的错误性，地面必然是一个三维空间中的封闭平面。

我们还可以解释，为什么地球上那么多东西在运动，给地球反向的力而地球的角速度没有明显的改变？以前，我以为是大家在地球上各处杂乱无章地运动，平均的宏观效果几乎是零。学习了动量我们发现，其实上述解释是非常不靠谱的，靠谱的解释应该是如下这样。当然，这里严格来说需要用到“角动量（L=mr×v）”，但我们不妨以动量类比。你在一个木板上跑步，假设木板下面是光滑地面，那么你和木板动量守恒。但你一旦停下，你的鞋会和木板发生作用，类似于碰撞过程，于是木板一定会回到速度为零（这是完全非弹性碰撞，由于初态动量为零，，而动量守恒，所以末态也为零）。地球像大木板（完了刚刚才在上文否认了天圆地方（捂脸））类比就知道你每次从静止到运动再到静止其实对地球没有什么影响。

结语

生活中还有许多地方跟动量有关，需要大家用一双慧眼慢慢发现。篇幅有限我就到此打住了。那么考试怎么办呢？多听老师讲，多做题，没事想想我上面讲的套路，在生活中加深理解，动量题目不会太难。