线性代数串讲【系列1】

 

线性代数是以解线性方程组为出发点,主要讨论向量空间及其上的线性变换....




引言

线性代数是以解多元一次方程组为出发点的. 考虑如下的方程组:

我们引入矩阵
来表示上述线性方程组.

如果不引入矩阵,还有比这更简洁的方式来描述一个线性方程组吗?

为了求解这个方程组,Gauss(高斯)对上述(增广)矩阵进行初等(行)变换,将其化成阶梯型矩阵.
初等变换是线性代数中的屠龙刀,几乎所有的运算都可以用初等变换来解决,掌握它你将所向披靡;而倚天剑就是矩阵的乘法. 初等变换既可看成是线性运算(加法和数乘),又可用矩阵乘法运算来实现.

比如:
可以按如下两种方式理解:

  • 线性运算:
  • 乘法运算:
特别要注意矩阵乘法和初等变换之间的关系:每进行一次初等行(列)变换相当于左(右)乘一个相应的初等矩阵.

有了线性运算和乘法运算,上述线性方程组就可以分别表示为向量形式和矩阵形式:

  1. 向量形式:
  2. 矩阵形式:
其中
为系数矩阵,而
为常数项矩阵.

矩阵形式如此简洁,你也就能理解为什么矩阵乘法要象课本上那样进行定义了. 今后你还将发现矩阵乘法的巨大威力,因此再怎么强调它的重要性也不过分.

接下来我们分别从矩阵形式和向量形式两个方面来展开讨论. 在展开之前,先来看一下向量和矩阵之间的关系.

数学中有两个非常重要的研究对象:集合与映射. 而映射是研究两个集合之间关系的最重要方法之一.

所有的
维列向量关于线性运算构成一个
维向量空间
(我们将其看成集合),为了研究两个向量空间之间的关系,通常是在两者之间建立一个保持线性运算的映射:线性映射(变换). 而矩阵正是两个向量空间之间的一种线性映射.
其中

矩阵,而

维列向量.

总结一下:为了存储或描述线性方程组,我们引入了矩阵的概念;为了解线性方程组,有了Gauss消元法,其核心就是初等变换;而初等变换本质上可以看成是线性运算和乘法运算,由此导出向量形式和矩阵形式.






矩阵形式

我们先来讨论矩阵形式

所有的线性方程组最终必须归结为一元一次方程
的求解. 就像求极限最后几乎都要用到连续性一样:
因此,我们看看从解一元一次方程
中能获取什么启示?


启示:

  1. 去找一个矩阵,使得.
  2. 给定矩阵,去找矩阵使得
有一个非常特殊的方阵
,它满足性质:
因此,如果能找到矩阵
使得

则方程
就迎刃而解.

这样就有了可逆矩阵(既左可逆,又右可逆)的概念.显然单位矩阵是可逆的,而零矩阵是不可逆的.

关于可逆矩阵,我们从以下三个方面来讨论:

  1. 存在性:什么样的方阵是可逆的?
  2. 唯一性:如果方阵可逆,其逆是否唯一?
  3. 求解问题:方阵若可逆,其逆如何计算?
唯一性容易从逆矩阵的定义推导出来,下面来看存在性和求解问题.

  • 由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵是初等矩阵,根据矩阵乘法和初等变换之间的关系,可知初等矩阵是可逆的,且其逆矩阵是容易计算的.
  • 由单位矩阵进行多次‍初等变换得到的矩阵是否可逆?如果可逆,如何计算?


根据矩阵乘法和初等变换之间的关系,我们有:
于是
从上分析我们不难发现,当一个方阵能通过初等变换化成单位矩阵或其能表示为一系列初等矩阵的乘积时,这个方阵就是可逆的.

而且我们可以构造如下的初等变换格式来计算一个矩阵的逆矩阵:
以后我们将通过引进一个矩阵函数(行列式:Determinant)来刻画一个方阵是否可逆.

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