从古筝调音开始谈起
“弦凝指咽声停处/别有深情一万重”，韵味十足的古筝其调音的原理又是什么呢？...
一、
出来工作久了，接触实践的东西多了，反而会经常发现生活中的一些小细节，时刻都藏着些许自然科学的影子。于是就有了开个公众号、挖掘一下身边的这些例子给大家做个科学普及的想法。恰巧我的师兄太原科技大学的张老师，也开了个类似的公众号，所以一来劲就想下笔写点东西犒劳下张老师。我在行文时，尽量做到通俗易懂，不会有过多繁琐的数学公式，让专家学霸们看得出些门道，对数学深恶痛绝的学渣们也能看个热闹，从中受到一些启发。
家有娇妻一枚，会点古筝。前段时间，抱回来一台新筝，拨拉来拨拉去要给新筝调音。只见她把调音器夹在筝弦的附近，每调一个音都要先试拨一下筝弦，调音器会显示此音是偏高还是偏低，然后通过调音扳手拧动调音柱，使得筝弦绷紧或放松来调节音的高低，直到调音器显示音准为止。见到此情此景，我脑洞大开兴奋异常，好一个调音神器，其中隐藏着多少力学的奥秘！所以，这一切便要从古筝调音开始谈起了。
二、
筝作为一种弦乐器，是我国最古老最具有传统文化民族特色的乐器之一，既能表现“弦凝指咽声停处，别有深情一万重”优美抒情，又有“山高猿狖急，天静鸿雁鸣”的气势磅礴。正是由于筝有着古老的历史渊源，因此现代人称之为“古筝”。据史料记载，早在春秋战国时期（约公元前四世纪），就已经广为流传，其中更是以秦国最为盛行。《史记·李斯谏逐客书》有记“夫击筝叩缶、弹筝、博髀而歌呼呜呜快耳目者，真秦之声也”。因此，筝又有“秦筝”之称。
现以我们家的这台古筝为例，在古筝面板之上，从下至上分布共有21根筝弦，仔细观察可见筝弦由细至粗，声音由高至低。筝弦分别通过左右两端的弦孔固定，右端筝弦缠绕固定于调音柱上，通过旋转调音柱便能调节筝弦的张弛程度。在面板的中部区域，分布有一系列的筝码（也称雁柱），筝码使筝弦在中部抬升一定的高度，达到一种紧绷的状态。同时筝码将筝弦分隔成为左右两个区域，分别利用左右两手配合弹奏。通过观察可以发现，筝码的码位从下至上不断地往左偏移，使得右手区域的筝弦从下至上不断变长，左手区域恰好相反，这正是与古筝的发声原理紧密相关的。
三、
我们知道，任何声音的产生都是源于物体的振动。弹奏古筝时，以右手为主，辅以左手配合，通过勾、抹、托、按、滑、揉等手法，使得筝弦产生振动，从而弹奏出悦耳的声音。我们再深一层，同样是振动，为什么有的弦发出的音比较高亮，而有的比较低沉呢，这是因为每根弦都有一个自身特定的频率，这个频率与你弹奏的力度大小、弹奏手法等等的外界因素没有关系，不然同一根弦每个人弹奏的力量不同而导致音高不同的话，那么调也就不成调了。所以，我们要明白很重要的一点，这个频率与外因无关，只取决于弦本身所处的物理状态，包括弦的材质、粗细、长度、张弛等，专业术语称之为固有频率。
频率，生活中很常用的一个词。我们经常会说一个人跑步的频率很快，或者说心跳的频率很快等等。事实上，频率是一个表征物体振动快慢的物理量，单位为Hz（赫兹），具体含义为物体一秒钟振动的次数。比如一只蚊子拍打翅膀的频率为500Hz，意思就是这只蚊子在1秒的时间内拍打了翅膀500下——也真是够累的。频率越高，声音越高；频率越低，声音越低。能够被我们人耳听到的声音也是通过频率来划分的，范围在20Hz—20kHz以内，低于20Hz的声音称为次声波，高于20kHz的称为超声波。
说完频率这个概念，我们再回到古筝上。现在我们明白了，每一根弦都有自己特有的音高，是因为每根弦都有一个自己的固有频率。21根弦从下至上，每根弦的频率不断减小，声音也从高亮变为低沉。一旦某根弦的音不准了，其实就是弦的固有频率发生了微小的偏移。而那个“调音神器”说到底就是一个“频率探测器”，通过探测“感受”弦发出的实际振动频率与该弦的固有频率相比较，告诉调音者究竟是音偏高了还是偏低了，然后调音者便通过调音扳手拧动调音柱，放松或者绷紧筝弦，把筝弦的频率调回至原本的固有频率即可。
那么，这21根弦的频率分别为多少呢，是有一个量化的值的。这又要提到另一个乐理概念，叫做律制。下面普及乐理知识。。。古今中外，存在很多律制，最常用的有两个：十二平均律、五度相生律。同一个音在不同的律制下，频率会有稍许差别。但是都依照毕达哥拉斯学派所建立的准则——相差八度的两个音频率比为2:1。
十二平均律。十二平均律最早起源于周朝，生律原则为将一个纯八度分为频率比相等的十二个半音。也就是说每两个半音之间的频率比为2开十二次方。
五度相生律。五度相生律最早便是起源于公元前6世纪的毕达哥拉斯学派，他们认为两个纯五度的音，当频率比为3:2时听起来最为和谐，因此就有了五度相生律。
有了律制后，只要定出一个基准音，从基准音出发，按照生律原则，就可以得到所有音的频率。目前，古筝调音最常用的就是以D调(D=1)五度相生律为调音原则的，也就是常说的五声音阶“宫商角徵羽”。现列出两种律制下右手区域各条弦的频率，给大家做个参考，基准音为第8弦的5，频率为440Hz。
扯了那么多，我们现在就从理论上深入研究一下古筝调音的根本原理。这就要从最简单的弦振动方程入手了。我们取出其中一根弦，来研究它的控制方程。
见上图，假设筝弦的线密度为ρ；筝码将弦分成左右两部分，弦长（投影长度）分别为l1、l2；左右两端分别撑开一个角度，记作α、β；弦上的张力为T。设u(x,t)为弦上坐标为x的点在竖直方向上的振动幅值，则u(x,t)关于坐标x、时间t的控制方程、边界条件以及初始条件可以写成（此处省略一万步。。。）：
由于筝的主音主要是由右手弹奏的，调音调的也是右手区域的音准，因此以右手区域的方程为例，求解右手区域的方程组就可以得到在演奏者弹奏后筝弦发生自由振动的数学描述（此处省略一万步求解过程），得到最终的解的表达式：
其中Cn、Dn是初始函数A1(x)、B1(x)积分求解得到的函数，从方程解中可以看出Cn与Dn只与筝弦振动的幅度有关，受初始条件即演奏者的手法的控制，只影响音的音色与响度，而不会影响音高。而与时间t相关的周期项cos(nπacotαt/l1)与sin(nπacotαt/l1)才是与固有频率有关的项，固有频率f=ω/2π= nπacotα/l12π= nacotα/2l1，于是我们得到了筝弦自由振动的固有频率表达式：
（1）张角α，对于每台古筝来说这是一个固定值，与筝码的高低有关。
（2）右手区域的弦长l1，对于同一根弦来说是一个固定值；不同弦之间，弦长l1越长，固有频率f越小，音就越低。
（3）弦上张力T，对于每根弦来说，这是一个可以调节的量，筝弦越紧绷，弦上张力越大，固有频率f越大，音越高。
（4）筝弦的线密度ρ，对于同一根弦来说是一个固定值；不同弦之间，弦越粗，线密度ρ越大，固有频率f越小，音就越低。
（5）阶数n，这是求解方程时产生的一个数，代表了频率的阶数。其实我们每听到一个音，都是由无数个频率成倍数的音叠加而成的，而我们所能辨别的只是n=1时的基准音而已，当n≥2时的音在专业上就称作为泛音，通过某些特殊的弹奏技巧也是可以弹奏出来的。
回过头再对照一下古筝的发音规律，确实如此，恍然大悟，一个小小的公式竟蕴藏了那么多的奥秘！再回到调音上，公式中每根弦的张角α、弦长l1、线密度ρ这几个量在古筝出厂时已经确定，只有张力T成了调节筝弦音高唯一的一个变量，当将调音柱拧到某个合适的位置时，筝弦的固有频率恰好等于各自的频率数值，此时音便是准了。最后出一个小小的思考题，从表中可以看出，每条弦代表的音属于五声音阶，并没有4和7，那么4和7该是要怎么弹奏呢（提示：需要左手配合）？
这次的话题就谈到这里了，希望通过我并不专业的阐述能给大家一些启发，也希望非物理专业的童鞋们可以了解一下物理问题的一般研究方法，能够更好地了解我们所生活的这个美妙的娑婆世界。
那么美妙的世界当然也少不了美妙的古韵琴声，最后顺便晒一下咱家这台别具韵味的新古筝——来自台湾的宏声古筝，保留了内地失传已久的古法挖筝工艺——“多年风干，整挖成体”，古韵成风。
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