【基础课2】傻瓜式解读控制方程通用形式

我们绝不打算把那些控制方程从头到尾再推一遍，实际上，对于计算流体力学而言，更值得关注的是“控制方程的通用形式”。也就是说，不论对于哪一物理量（质量、动量、能量等等），描述其“守恒”所用到的方程形式都差不多。...





公式来自An introduction to computational fuild dynamics - The finite volume method

流体的流动遵循各种守恒规律，对这些规律进行的数学描述构成了控制方程。流体力学的书籍通常会在最开始的几章对描述质量、动量、能量守恒的控制方程进行推导，只要曾经翻阅过那些书，多多少少会有些印象。

我们绝不打算把那些方程从头到尾再推一遍，实际上，对于计算流体力学而言，更值得关注的是上图所示的方程，通常它被称为“控制方程的通用形式”。也就是说，不论对于哪一物理量（温度、密度、动量等），其控制方程的形式都差不多——大体上都是上图那个形式，从左到右依次称为：瞬态项、对流项、扩散项、和源项。其中的φ，既可以指代速度、温度等任意变量。Γ，叫做广义扩散系数。

对时间求偏导数的为瞬态项。显然，之所以称为“瞬态”就是因为随时间是变化的。如果在你所关注的时间内，你所关注的流体流态不发生变化，这一项认为是0。

对空间坐标（x、y、z）求一阶导数的为对流项。我们最熟悉的恐怕是中学时候学到的“对流传热”。对流传热是热量的传递，而其驱动力是由于空间上温度分布的不均匀导致的流体流动，也就是由温度对空间的一阶导数引起的。

对空间坐标求二阶导数的为扩散项。连续性方程此项为0；动量方程此项又称为粘性项，表达内摩擦力的影响；能量方程中此项表达热传导（既然前面那项表示热对流）；组分方程里表达名副其实的扩散（参见菲克第二定律）。

除了上述以外的都叫源项，例如热辐射引起的温度变化、化学反应引起的组分变化，等。之所以会把对流、扩散和其他因素分开，是因为它们在有限体积法中，对于对流项和扩散项，可以通过高斯定律把体积分转化为面积分，而其他的则只能取体积分。

如果我们要编程求解一系列控制方程，有这么一个统一的形式一定是个好事儿，因为只需要编写一份代码，对不同的方程相应地替换不同的项即可。下图给出了通用方程中各项在不同方程中的具体意义，图片来自《计算流体动力学分析：CFD软件原理与应用》（王福军）。



说穿了，计算流体力学的唯一目的，就是求解出若干个这样的控制方程，得出不同的φ在各个位置、各个时刻的值。

感谢美女博士小蓓给本文初稿提出的意见。

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