错误一型二型

小白学统计系列之五：法官的艰难抉择——统计学中的两类错误

统计学中的一型错误和二型错误不仅仅是个概念问题，还关系到你的样本量的计算，结果的解释等。...

有一个化工厂，一直在排放污染物。环保署早就看它不顺眼了，于是调查人员就去展开调查了。根据环保署的标准，排放浓度的上限是万分之三。所以调查人员就做了抽样调查，通过污染检测值，来判断这家工厂是不是超出了上限，是不是需要让它关门整顿。好了，环保署工作人员不负所望，抽样调查结果发现排放浓度是万分之四，高于排放标准上限。那现在问题就来了：要不要让它关门整顿？

你可能会说：这还用说？超出上限了，当然让它停产了。如果这是你脑子中的第一反应，那说明你还没有真正理解统计学。注意，工作人员做的是抽样调查，既然是抽样，就有可能有误差，也有可能这家工厂并没有达到上限，只是抽样的地方恰好浓度高而已。那这怎么办呢？这就要用到我们上一讲提到的假设检验思想。假设检验是利用反证法的思想，总是认为“人之初，性本善”，总是把人假设为好人。这次也不例外，原假设是这家工厂没有超出上限，那怎么来证明他到底有没有超出上限呢？当然思想就是：如果这家工厂排放浓度是3（这种情况下，就不会被关门大吉），那么在一次抽样中结果是4，这种概率（P值）有多大？

无论计算的P值有多大，我们只能下一个结论。如果P值大于0.05，我们可能会说，这种可能性是存在的，可能这家工厂的浓度真的是3（原假设成立），调查人员调查结果是4，只是抽样误差而已。如果P只小于0.05，那我们要说，这种可能性太小，所以这家工厂的浓度不可能是3，而是应该大于3。所以，结论要么是公司违反标准，要么是公司没有违反标准。如果你要根据这次调查结果判决的话，你会怎么判断呢？事实上，无论你怎么判断，总有判断错误的可能。错误的可能性主要有两种，如下表所示：

这两种错误也就是统计学中与假设检验相关的两种错误类型：一型错误和二型错误。所谓一型错误，也就是你冤枉了厂家，本来公司没有违反标准，你硬是说它违反了，这种情况下，厂家吃亏了（无缘无故被勒令停工好几个月）。所谓二型错误，就是你放纵了厂家，本来公司超过标准了，你却认为它合理，这种情况下，附近老百姓吃亏了（继续忍受污染）。一型错误通常用α表示，二型错误通常用β表示。

一型错误和二型错误哪个更严重？这取决于你站在哪一方。从环保署角度，可能一型错误更严重，因为错误地控告该工厂，可能导致该工厂恶狠狠地反咬一口，成本很高的。从附近居民角度，二型错误更严重，因为如果没有控诉该公司，这几公司继续排放污染，居民健康受影响。

另外一个例子，有一个人正在以谋杀罪的罪名受审，法官要来判断他是否有罪，如果有罪就面临死刑，如果无罪就当庭释放。假设这个人是无罪的（原假设，依然假设他是个好人），那么你判断他有罪，这就是一型错误。这种情况下，我们希望这种错误越小越好，毕竟，人死不能复生。这时候如果我们还是以一型错误α=0.05这一标准，显然有点太冒失了，我们希望α越小越好，这样才不至于误杀好人。那你可能会说，那我们干脆就把α设为0.000001，那多好，这么小的几率，总不至于判错了吧。但是这就会带来另外一个问题，我们只是假设这个人无罪，那万一这个人真的有罪呢？把α设的这么小，那你需要收集更多的证据才能真正证实他有罪，也就是说，即使他有罪，如果你把α设的这么小，那你几乎不大可能真的证明他有罪。也就是说，二类错误明显增大（本来有罪，结果没法证实）。

所以，看起来一型错误和二型错误是个彼此消长的关系，一型错误大了，二型错误就小了；一型错误小了，二型错误就大了。那么除了让一型错误变大之外，怎样才能降低二型错误呢？很简单，增加样本量。每一个样本数据就相当于一条证据，证据越多，当然你就越容易证明他有罪。

在介绍二型错误的时候，顺便不得不提一个现实中很重要的概念，即把握度（power），有的也翻译为功效。把握度=1-β（二型错误）。二型错误是如果他有罪，而错误地判他无罪，所以把握度就可以理解为，如果他有罪，而且法官正确地判断他有罪的概率。这个是我们所要追求的，也就是说正确判断你的结论。举几个现实中的例子，如果两种药物疗效确实有差异，把握度就是真的能发现这种差异的概率；如果不同性别的人发病率真的不同，把握度就是真的能发现这种不同的概率。

很显然地，一项研究的把握度越高越好，事实上，很多项目都希望你在写标书的时候能够告诉他们，你有很高的把握度（比如不低于0.8），这样结果才不至于事与愿违，给你支持的钱不至于打水漂。而且现在很多文章也都要求提供把握度，尤其你的结果是阴性的时候（也就是说，可能本来是有差异的，但是你的结果中未能发现，得到了一个无差异的阴性结果）。这种情况下，报告一下你的把握度是很有必要的。如果你的把握度很低，那很可能只是你的样本量不足，或者换句话说，你一开始就设计的不好，没有仔细计算一个合理的样本量，结果导致了你的阴性结果。如果你在计算样本量的时候，就是以一个很高的把握度计算的，理论上是不会出现这种结果的。

所以，如果你想做一个研究，了解一下一型错误和二型错误的概念是很有必要的。只有你自己才最有资格对自己的研究做决断，那么作为法官，你会更倾向于减少哪一类错误呢？