微积分之美

微积分的思想自古有之，《庄子·天下篇》有记载，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，在这里面就包含着无限可分和极限思想的萌芽。...



微积分的思想自古有之，《庄子·天下篇》有记载，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，在这里面就包含着无限可分和极限思想的萌芽。《九章算术注》里刘徽“割圆法”的思想就运用了无穷小分割方法，极限等思想。

在中国之外，公元前5世纪，古希腊伟大的唯物主义哲学家德谟克利特创立了原子论，他将物体看成是大量不可分割的微小颗粒（原子）组成，由此他断言“在任一多边形底上的棱锥的体积是等底等高棱柱体积的三分之一”，譬如圆锥与圆柱的体积关系。

古希腊另外一位有着微积分思想的数学家，就是巨牛无比的阿基米德，当然他不仅仅是一位数学家，他还是哲学家，物理学家，力学家，静态力学和流体静力学家。阿基米德采用了穷竭法，原子论和杠杆原理，解决了求抛物线弓形面积，回转锥线体的体积问题。

然而，以上古人的这些成就仅仅是微积分思想的一些萌芽。中世纪数学的发展停滞不前，当历史走到了17世纪，大量数学家的涌现和熠熠生辉的数学思想的诞生促成了现在微积分思想的诞生，其中解析几何学的创立成为了数学发展的重大转折点。

微积分涉及的无非就是微分和积分两个概念，这两种方法的创立是要解决几种典型的科学问题，微分是研究物体运动的瞬间速度，曲线的切线，函数的极值等问题，积分则是计算曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等问题。

我们在学校学习的时候，先被教授的是微分，然后是积分，然而在历史的发展过程中，积分的概念是先于微分产生的，这似乎也合情合理，因为对面积或体积问题的解决似乎比对运动物体瞬时速度或者曲线切线等问题的解决更来得迫切和具体。

数学界公认的微积分发明人有两人，牛顿和莱布尼兹。两人都是在独立的环境之下创立了微积分。17世纪末，当微积分创造性的被发明之后，初等数学的历史基本结束，数学的发展到达了一个快速发展期，高等数学从而建立。

正如牛顿所说的那样“如果说我能看的更远一些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，先与牛顿和莱布尼兹之前，有很多数学家就在研究曲线和体积等问题上涉及或运用了微积分的思想，这里面较大贡献的有德国天文学家，数学家开普勒，意大利几何学家卡瓦列里，法国数学家费马，英国数学家惠更斯，巴罗等等。

开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积，这是二重积分的思想，转换为积分则可以表示为，

这种积分的想法实在是太销魂了，举个简单的例子，看看下面的全麦面包。



如果事先将每一个薄片的面积求好，然后在[a,b]的闭区间里面进行叠加，那么体积就得到了。这种思想其实就是二重积分，也就是平面在一定区域内的积分。有了这样的思想，那么运用到线在定区域内的叠加和，那就是积分，所得的就是曲线在定区域内所围成的面积，
，如果将二重积分推广到三重，譬如带上体密度函数来积分，那实际的意义就是求得物体的质量，如此想来，积分运用确实更具有迫切性。

留下“巴罗让贤”佳话的英国数学家巴罗被认为是微分学（也就是无穷小）的真正发明人，在他的重要著作《光学和几何学讲义》中，巴罗利用特征三角形将切线的斜率定义为两个无穷小的比值，这无疑奠定了现在微分学的基础。

和积分相比，微分的概念让人感觉似乎要更加的“数学化” 。我以为，微分学的滥觞就在于无穷小，我们先聊聊啥是无穷小。

假设有函数f(x)，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。

很好理解。很显然，无穷小并不是一个数，而是一个量，譬如
都是当
时候的无穷小量。那么巴罗的微分特征三角形如下所示：



巴罗认为，当弧PP1足够的小的时候，就可以放心的将弧PP1与P点切线的一段PQ等同起来，那么PRP1是特征三角形，其中PP1既是曲线的弧长，又是切线的一部分，我们可以转换到微分的思路再重新叙述这个问题。

微分是对函数的局部变化的一种线性描述，微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx。

好，有了前面的约定，那么我们需要搞清楚的是为什么巴罗的观点是正确的。我们假定这段弧OPL为f(x)，考察f(x)在P点的局部变化时候的属性，f(x)在x点有一个增量△x，那么相应的y的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小。

前面讲过无穷小，这里再解释一下高阶无穷小。


，那么则称
时，f为g的高阶无穷小量。

很简单，续上段，那么如果 Δy 可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)，则可以称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

可以看出，函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

换而言之，当函数的自变量有一个微小的改变△x时，函数的变化Δy 可以分解为两个部分。一个部分是线性部分，它正比于自变量的变化量△x，可以表示成△x和一个与△x无关，只与函数及有关的量的乘积。另一部分是比△x更高阶的无穷小，也就是说除以△x后仍然会趋于零。

由此可见，当改变量△x很小的时候，第二部分作为高阶无穷小量就可以忽略不计啦，函数的变化量也就约等于第一部分，那么这不就是巴罗所认为的“当弧PP1足够的小的时候，就可以放心的将弧PP1与P点切线的一段PQ等同起来”的观点么。

确实，感觉微分的观念要比积分的难以理解，积分的概念似乎合情合理，微分的想法则需要点天分。在微积分的创立过程中，无论是牛顿还是莱布尼茨，他们所建立微积分理论的出发点都是无穷小量，牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》，这本书在他死后的1736年才出版，在这本书里，牛顿认为变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是，已知连续运动的路径，求给定时刻的速度，这属于微分的范畴，另外，对已知运动的速度求给定时间内经过的路程，这就属于了积分的范畴。

在我看来，莱布尼兹对微积分的创立贡献更大，莱布尼兹是德国数学家，自然科学家和哲学家，他可谓是17世纪的全才。莱布尼兹幼年丧父，其父留下大量藏书，使得他自小便博览群书。15岁便考入大学法学系，20岁即获得哲学博士，后出任柏林科学院第一任院长，终身未婚。



钻研科学的人都把科学作为了一生的挚爱，很多科学家都未婚，尤其是在数学领域，这种少有的单凭一张纸一副好大脑就可以单打独斗show智商的学科更是需要狂热的投入和精力。

莱布尼兹终生勤奋过人，在研究他留下的手稿中，人们得知他通过对巴罗的“特征三角形”的分析，发现了两个问题，首先，特征三角形△ PQR和△PNX相似，从而有dy/dx=PX/NX，这就是说，f(x)上过点P的切线的斜率是dy/dx。

好，莱布尼兹的第一个发现属于微分范畴，那么第二个则属于积分范畴，他说“面积的求得倚赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限矩形之和”，你或许想，这也没啥啊，前面那开普勒等人早不就是这么想的么？

慢着，让我们看莱布尼兹在这个结论之下还干了些啥。

1675年10月29日，莱布尼兹在手稿中第一次表达出积分和微分的关系，他认为微分与积分必定是相反的过程，而在此之前，在十七世纪的前三分之二的时间里，数学家们都认为这两个概念只是毫不关联的，没有意识到它的重要性，他们已经筋疲力尽于微积分的细微末节的推理里，并没有人推开长稿，跳出窠臼来考察微分和积分的关系。

但是，莱布尼兹却做到了。

在随后的1676年11月，莱布尼兹已经在手稿中给出了求解积分的一般性法则，譬如，
，

1684年，莱布尼兹发表了现在世界上认为是最早的微积分文献《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，看看这篇文章的名字，简直就是数学系博士生们所发表的巨长且巨古怪的论文名的开山鼻祖。然而，和博士生们的臭脚布论文不同的是，这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。莱布尼兹从几何学的角度出发，论述了微分法则的成果，如设横坐标的微分dx是一个任意量，则纵坐标y的微分dy可定义为dy:dx=y:次切距，可以看到，莱布尼兹的文章之中已含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，再瞧瞧这篇论文名，高大上的直冲云霄。这篇论文的意思同样重大，莱布尼兹无比牛那啥的提出了积分或求积问题与微分或切线问题的可逆关系，即可以求出原函数。

我得单独再开一行，否则无非表达写到此处时内心之澎湃激荡。

求出原函数，什么概念？概念就是，不但从理论上指出了微分与积分的互逆关系，更是从推演上给出了具体的公式。

这就结束了吗？

并没有。

莱布兹尼还是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有无法估量的重大影响，现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。举几个例子，1675年，莱布尼兹在笔记手稿中创造性地用
来表示求和(将sum的第一个字母s拉长)，随后他又用
ydx来表示面积，n阶微分符号"d"也是由莱布尼兹创立，除了高等数学，我们平时熟悉的初等代数中的乘号(点乘)，比（:），相似符号都是莱布尼兹的绝思妙想。

除了数学符号，莱布尼兹创建的数学名词更多，如“微分学”，“积分学”，“函数”，“坐标”等等。

好了，现在你说，莱布尼兹牛不牛呢？



微积分从创立开始就有了发明权之争，莱布尼兹的论文都早于牛顿，但是从发现的年代来看，牛顿的（1665）早于莱布尼兹（1672），两人从不同的角度独立的创立了微积分，牛顿从运动学角度来考察，以速度为模型建立了微分学，偏重于求微分的反运算，即不定积分概念，采用点来表示微分符号，这就是所谓的“点主义”，莱布尼兹从几何学角度来考察，从作曲线上的一点的切线开始建立微分学，侧重于把积分理解为求微分的和，这就是定积分的概念，使用d表示微分符号，因此又被称为“d主义“。

不用多说，大家可以很清楚看出，点主义和d主义到底谁是赢家，我们现在的微积分基本概念的建立基本上全部都来自于莱布尼兹。然而，数学是一个极高智商的人们的游戏，进入这个俱乐部的都是天才，天才不可逃避的缺陷就是恃才傲物，自尊心极强，争强好胜，牛顿就是其中的典型。

前面我们提到牛顿曾说过这样的一句话，“如果说我能看的更远一些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，断章取义的听，相当的谦逊。然而事实上却并非如此，这句话产生于光的波粒二象性的争论时代，持有光粒子学的牛顿与英国皇家科学院一位认同光是波的科学家虎克从论点不同发展到交恶，在往来的书信之中，牛顿是在保持绅士风度的外表下用了这样的一段话，其意却是在揶揄虎克，这听起来虚怀若谷的话却是长达几十年掐架中的檄文的一段，实在让人哑然失笑。

微分说创立者之争导致了英国派和大陆派的对立，双方的争论发展到了停止了学术交流，甚至延伸到了自然科学领域。点主义与d主义的对抗的悲剧是使狭隘的英国人的数学进展推迟了近百年，因为倔驴一样自尊心极强的英国人继续牛顿以几何为工具的思想，沿用不简洁的数学符号，拒绝使用莱布尼兹先进的分析法和简洁符号d和
。

就微积分而言，它开辟了数学领域的一个广阔的新天地和新纪元，很少有其他发明能有如此累累硕果，微积分推动了数学的巨大发展，开启了数学家的巨大热情和强大动力，微积分学说在18和19世纪继续蓬勃发展并枝叶繁密，二重积分，三重积分，常微分方程，偏微分方程，等等，出现了柯西，泰勒，拉普拉斯，达朗贝尔，等熠熠生辉的数学家。

似乎微积分的创立对数学的发展怎样赞誉都不为过，但是实际上，关于微积分基础的争议一直存在，它甚至引起了一场数学危机。这里的关键点在于可微中所谓的略去的部分，对，就是那个高阶无穷小o(Δx)。

牛顿和莱布尼兹都没有对o(Δx)给出明晰的论述，基于这种含糊的逻辑基垫之下，导致了对无穷小概念并无一致的见解，从而导数，微分，积分等概念也开始混淆不清。18世纪之后形成的微分方程，解析力学，变分法，微分几何等分支都是建立在这样不严格的基础之上的，因此微积分饱受诟病。法国数学家罗尔说“微积分时巧妙的谬论的汇集”，甚至于伟大导师马克思也对此表达了鲜明的态度，且饱含阶级意识观，他激愤地说道“略去高阶无穷小就是暴力镇压！”，这简直就是要号召全世界的无穷小打破背负的锁链，起身革命去建立新世界嘛。

当然微积分的危机并没有继续下去，19世纪的数学家们完成了微积分基础严格化，在柯西，魏尔斯特拉斯，戴德金等等数学家严格不懈的努力之下，微积分学说完成了自我修复。数学之美就在于它不断丰富和拓展新世界的同时，以严密无缝的强大逻辑修复自身，这种凭靠人类智慧之光的学科过去曾引领人们开创人类文明之辉煌，今后它也会继续开辟我们现在无法知晓和想象的历史画卷，这种未知的美妙终将不断达成并汇集组成人类文化最为灿烂的篇章。

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