涨姿势非常神奇的数学结论

非常神奇的数学结论下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。我们来看...

非常神奇的数学结论

下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。
我们来看两组数：
A：1，5，10，18，23，27；
B：2，3，13，15，25，26。
这两组数有什么关系呢？
它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。
即：1+5+10+18+23+27=84=2+3+13+15+25+26
看到这里，你也许会不屑一顾：这有什么稀奇，这样的数组要多少有多少！
真的是这样吗？那我们做一个小小的变化：算算各自数组的平方和。
然后你可能发现了：1^{2}+5^{2}+10^{2}+18^{2}+23^{2}+27^{2}=1708=2^{2}+3^{2}+13^{2}+15^{2}+25^{2}+26^{2}这两组数的平方和也相等！
这个时候，有些人可能有点小惊讶，但也有人会很淡定：毕竟每组6个数呢，找两组和及平方和都相等的应该并不是什么难事啊。
但是事情并没有结束，我们算算它们各自的立方和：
1^{3}+5^{3}+10^{3}+18^{3}+23^{3}+27^{3}=46324=2^{3}+3^{3}+13^{3}+15^{3}+25^{3}+26^{3}
立方和也相等！
这就让人有点意外了，不过，这并不是终点，请看：
1^{4}+5^{4}+10^{4}+18^{4}+23^{4}+27^{4}=916885=2^{4}+3^{4}+13^{4}+15^{4}+25^{4}+26^{4}
请再看：
1^{5}+5^{5}+10^{5}+18^{5}+23^{5}+27^{5}=22777944=2^{5}+3^{5}+13^{5}+15^{5}+25^{5}+26^{5}
神奇吧？难道有什么玄机吗？
并没有，如果我们继续下去：
1^{6}+5^{6}+10^{6}+18^{6}+23^{6}+27^{6}=570484228
2^{6}+3^{6}+13^{6}+15^{6}+25^{6}+26^{6}=569274628
六次方和就不一样了。
这两组数看上去真是匪夷所思，奇妙之极。那么，它们究竟是怎么来的呢？

原来，这些数字源于前苏联数学家 Gelfond 发现的恒等式：
a^{n}+(a+b+4c)^{n}+(a+2b+c)^{n}+(a+4b+9c)^{n}+(a+5b+6c)^{n}+(a+6b+10c)^{n}=(a+b)^{n}+(a+c)^{n}+(a+2b+6c)^{n}+(a+4b+4c)^{n}+(a+5b+10c)^{n}+(a+6b+9c)^{n}
其中 n = 1，2，3，4，5
上面的例子，只是 a = 1，b = 1，c = 2 的情形而已。如果改变 a，b，c 的值，我们就可以得到其它满足要求的数组了。
我们原以为这样的数组是「凤毛麟角」，不可多得的，现在看来，它们真的是「要多少有多少」的！
这类问题，在数学上叫做「k 次乘方幂的等和问题」，或者「等幂和问题」。这个问题在表述上极为简洁，但是深究起来却有很多门道。比如，如果限定数组的个数（如每组 6 个数），我们能构造出多大的 n 次幂等式？这个 n 是不是有上界？这依然是未解之谜。
不过……
我们知道，上文中 Gelfond 的构造的恒等式是「神来之笔」，要构造这样的等式，对普通人来说显然太难了。但是，如果我们放宽条件（比如：不对每个数组中数的个数作严格限制），那么，对普通人来说，这也是一件并不困难的事情哦！