数论因数与倍数

数论，奥数的灵魂！如果数论没学好，那就“灵气”不足了，需要加把劲“修炼”。数论顾名思义就是“关于数的研究、讨论”,其中因数与倍数是数论的重要组成部分。...



数论，奥数的灵魂！如果数论没学好，那就“灵气”不足了，需要加把劲“修炼”。数论顾名思义就是“关于数的研究、讨论”,其中因数与倍数是数论的重要组成部分。

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数

最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

一、求两个数最大公因数和最小公倍数

最大公因数是“圆括号”：（A，B）=
最小公倍数是“方括号”：【A，B】=

（1）若两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积。
连续两个自然数：
（4，5）=1
【4，5】=4×5=20
两个不同的质数：
（3，7）=1
【3，7】=3×7=21

（2）两数不互质，可以用“短除法”求大公因和小公倍。
例：求24和36的最大公因数和最小公倍数。



除到“不能再除”为止。“最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”。
（24，36）=2×2×3=12
【24，36】=2×2×3×2×3=72



左边的除数不一定是质数，只要能除尽就行。
（24，36）=6×2=12
【24，36】=6×2×2×3=72

二、求三个数的最大公因数和最小公倍数（短除法）

求三个数的最大公因数时，左边写的数一定是三个数都能除尽才行。


（90，180，84）=2×3=6
求三个数的最小公倍数时，先把三个数都能除尽的除完，然后再两个两个除，除到任何两个都不能再除为止。


【90，180，84】=2×3×3×2×5×1×1×7=1260

三、大公因和小公倍应用题

例：一个公共汽车站，发出五路车，这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，多少分钟又同时发车？我们来看一个第二十届华赛杯的一个题目

一、商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元。若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了_元。

【解析】

这道题目没有其他的解决办法，只能是把1457分解质因数，根本不超过21的两倍，我们拿42以内的质数去试，得到1457=31×47。得到售价为3角1分每张（数量为47张）从而得到赚了多少钱。

【反思】

不该局限于用2、3、5等常规数字去分解，要学会用质数7，17这种30以内的质数去分解。

【练一练】

若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为多少？

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