三分损益法 — 含义

含义三分损益包含“三分损一”、“三分益一”两层含义。三分损一是指将原有长度作3等分而减去...

含义

三分损益包含“三分损一”、“三分益一”两层含义。三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即：原有长度×(3-1)/3=生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即：原有长度×(3+1)/3=生得长度。两种方法可以交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生。

这两种生律方法所形成的长度关系、音程关系及其古代称呼，三分损益法与古希腊毕达哥拉所用的定律法，阿拉伯人所用的“量音学”，在数理上是相通的、一致的，近现代统称之为“五度相生法”。但三分损益法，只包括生出高五度与低四度的律，不包括生出低五度与高四度的律，而五度相生法则兼指两个方向的相生。

“三分损益法”的基本原理是：
以一段圆径绝对均匀的发声管为基数——宫（1）；然后，将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音，就是“宫”的纯五度高音—— 徵（5）；将 徵管均分成三份，再加上一份，即 徵管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了 徵的纯四度低音——商（2）；商管保留三分之二，“三分损一”，于是得出商的纯五度高音——羽（6）；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角管，角管发出羽的纯四度低音——角（3）。
这样，在有了基本音“宫”之后，经过两次“三分损一”和两次“三分益一”，“宫、商、角、 徵、羽”五个音阶就生成了。宫生 徵， 徵生商，商生羽，羽生角，由于是“五五相生”，因此，乐律家们说起五个音阶来，他们不说“宫、商、角、 徵、羽”，而是说成“宫、 徵、商、羽、角”。

根据上述理论而得出的算式，应为：

计算先后程序 所合的音 算 式
（2） 徵 81×4/3 =108
（4） 羽 72×4/3 =96
（1） 宫 1×基本音（假设为81） =81
（3） 商 108×2/3 =72
（5） 角 96×2/3 =64
它们的实际比数是：
徵 羽 宫 商 角
108 96 81 72 64
记载中，管仲实际只相生出了宫、商、角、徵、羽五个音。继管仲之后，《吕氏春秋》的“音律篇”在管仲五音的基础上又继续相生了11次，也就是相生到“清黄钟”，使十二律的相生得到完成。但当相生到第11次（即到十二律）后的“清黄钟”时，“清黄钟”不能回到原出发律上，使十二律不能周而复始，这一问题没有得到解决。在此后的近二千年中，我国历代都有一批有识之士对这一律学问题进行了不懈地探索，“三分损益法”在各个时期都有不同的解决办法，我们当在不同时期进行介绍。
中国明代音乐家朱载堉于万历十二年（1584年）首次提出“新法密率”（见《律吕精义》、《乐律全书》），推算出以比率1:12√2 将八度音等分为十二等分的算法，并制造出十二平均律律管及律准，是世界上最早的十二平均律乐器。这一问题才得到解决。

“三分损益法”每制出新的律管与原律管的音高都是上方五度，再下方四度，又上方五度，再下方四度……的关系，但需要再按音高次序调整排列，才能得出十二律，所以它又叫“五度相生律”，亦有称之为“五度相生法”。《管子·地圆篇》中的相生方法是先“益”后“损”。
“三分损益法”理论是世界上最早制定的“十二律”的理论，比古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯的“律制”要早一个世纪左右。最早见于公元前7世纪齐国丞相管仲《管子·地员》篇中，该书相传为春秋时管仲（约前730—前645）所著。地员是一篇研究土壤的论文，他依据2/3弦振动是全弦五度音的原理，在一定张力的弦上连续按2/3（损益）4/3（溢益）地方法生出上五度下四度各音，直到生出12律，这种方法为三分损益法，这种律为三分损益率。

《管子·地员》第五十八篇

“凡听徵，如负猪豕觉而骇。凡听羽，如鸣马在野。凡听宫，如牛鸣窌中。凡听商，如离群羊。凡听角，如雉登木以鸣，音疾以清。凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。”

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