数里数外之棋盘上的数学证明（第三十一期）

棋盘上的数学证明在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长...

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格．如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？答案是不能的．每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑．所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格．而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的．

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明．建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论．上图就是那个漂亮的证明．不妨对它再赘述两句．粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线．从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）．在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖．从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖．

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（RalphGomory）找到的．它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里．

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