《Bandgap》-The Magic Vbe of BJT.

Bandgap, Vbe, BJT, Voltage Reference....





"Fast is fine, but accurancy is more important!" said by a famous man.

最近看BJT的东西比较多，其实真要做好analog，还真离不开BJT，除了“快”他更"精准"，高性能的带隙基准(Bandgap)或者 Voltage reference真离不开它。

在没开始讲BJT的特性之前，我还是带大家一起回顾一下BJT的基础知识，大家参阅我的前一篇文章《Bipolar/BJT》，基本上都已经讲了，其实BJT的重点就在于基区(base)，如果说process有问题几乎都是围绕基区的。从gummel curve上可以看出，Ib和Ic都是跟Vbe相关的，但是在初期Ib会上翘以及中间区的maximum Beta (β)比理论值小等等现象都是可以用EB结的表面有trapping以及EB结的dopping profile还有基区contact的Auger复合等理论来解释。所以说看见Beta变小不要就只知道基区宽度和基区浓度！



好了，回到应用层面吧。首先BJT是Bulk device，所以她的mismatch以及low-frequency noise都比MOSFET好，所以对于Low-Noise Amplifier(LNA)的差分放大器来讲，BJT应该是个完美的输入端。

其次就是我们经典的应用: Bandgap Reference (BGR)。这里我需要花点时间跟大家一起学习一下。熟悉模拟电路的人都知道，这里说的bandgap就是带隙基准电路，先普及为什么什么叫“带隙”吧？其实就是Si的带隙，其实就是价带顶和导带底之间的能量差，也就是禁带宽度Eg，所以也叫“能隙”。而Eg是能量，除以一个电子的电量(q)，就是带隙电压了(Eg/q)。这个电压之所以经典是因为它与电源电压、工艺参数、以及温度变化无关，所以带隙电压就成了基准电压的设计基础，不然你电路工作产生热量累计以及外界温度变化的时候都会导致你的基准电压发生变化，那你的电路还怎么工作？所以现在的高精度比较器/放大器，AD/DA转换器，LDO稳压电路等都需要这种带隙基准电压，其实我的理解是主要是对外界电源电压和温度不敏感，实际上对工艺参数还是敏感的，毕竟掺杂浓度会影响Eg的，只是这不是designer该考虑的，他只需要highlight你maintain就好了，O(∩_∩)O。不过，理论终归是理论，虽然叫带隙基准，但是实际上也不是完全的带隙电压，他只是利用这个原理设计而已。

Bandgap is a magic world！

BGR is already a most elegant way to fashion an Voltage reference in modern analog/MS circuit.

再说带隙基准电压之前，我们先说说在这之前都是如何实现的？齐纳稳压或者增强与耗尽管的阈值电压差，先说齐纳稳压吧，这种方式的稳压太高了，对于现在的低电压IC根本不适用。第二种方法的耗尽管倒是不错的，但是增强和耗尽管对工艺的灵敏度不同，所以精度不好。所以只能用带隙基准了。

他的设计理念就是通过一个正温度系数(PTAT: proportional-to-absolute-temperature) 和负温度系数(CTAT: complementary-to-absolute-temperature)的电压通过适当的比例相加，从而产生与温度无关的电压基准 (ZTAT: Zero-sensitive To Absolute Temperature)。在半导体工艺中，BJT的特性参数被证明是具有最好的重复性(Bulk device)而且能同时提供正温度系数和负温度系数的电压，那就bingo了。



先来讲这个负温度系数(CTAT)吧，这就是我们BJT里面的Vbe了。通常我们会选择一个High-Gain的NPN或者PNP，并且将Base和Collector短接来得到一个Vbe的二极管，而这个二极管的正向电压Vbe就是负温度系数，大约是-1.5mV/K。那么这个-1.5mV/K是怎么来的呢？公式推导我就不算了，不过我还是按照拉扎维的书P313算了一遍，∂Vbe/∂T=[Vbe-(4+m)VT-Eg/q]/T。从公式可以看出Vbe本身与温度有关，所以它的曲线应该是一个斜率为负的非线性曲线。



顺便来一段小插曲吧~为什么不直接用PN二极管或者直接Collector悬空，而非要用BJT-短接CB结来实现一个二极管呢？我好奇了很久终于在一个网站上找到了答案，大家自己阅读吧。(BJT Diode configuration)。

再回到正题，正温度系数就是热电压(VT，不是MOSFET的阈值电压啊~)，先讲结论吧。两个相同的双极晶体管工作在不同的电流密度下，那么他们的基极-发射极电压Vbe之差(ΔVbe)就与绝对温度成正比，也就是正温度系数(PTAT)。

如下图，Q1和Q2是两个完全相同的晶体管，但是我们强制两个晶体管的Collector电流分别为n*I0和Io，所以Q1和Q2的Vbe就分别是VT*ln(nI0/Is)和VT*ln(I0/Is)，所以ΔVbe就是Vbe1-Vbe2等于VT*ln(n)了。

再将VT=kT/q带入上式得出ΔVbe=kT/q*ln(n)。所以ΔVbe和温度T是正比的关系。所以ΔVbe的温度系数就是k/q了(k是波尔兹曼常数、q是电子电量)，所以他的温度系数是+0.087mV/K。



OK，正、负温度系数都已经讲完了，那如何组合？毕竟Vbe是可以直接量测的，可是VT是个不可测试的东西啊？如何得到呢？反正是正负温度系数相加，那就Vref=Vbe+b*[VT*ln(n)]吧 （b就是系数，确保正负温度系数能够抵消)。这个b怎么选呢？无非就是上式对温度求导，然后Vbe/T=-1.5mV/K，而VT/T=0.087mV/K，所以b*ln(n)需要等于17.2才能满足Vref对温度的导数为“0”，表示与温度无关！



哎，我的妈呀！

搞了半天还是理论，电路上怎么实现啊？

其实就是一个“Vbe”的电路和一个“17.2*VT”的电路相加！

还是从理论电路出发吧，如下图所示，晶体管Q1是一个单一晶体管，而Q2是有n个相同的晶体管并联的。这里给两个假设条件，第一：Vo1与Vo2相等，第二：Ln(n)≅17.2。所以Vbe1=I*R1+Vbe2。所以I*R1=Vbe1-Vbe2=VT*Ln(n)，所以Vo2=Vbe2+VT*Ln(n)=Vbe2+17.2*VT。是不是就是温度无关了？实现了吧！


别高兴的太早，有没有注意两个假设条件？电路是真实的世界，这个假设如何实现？再说了Ln(n)=17.2的时候，那你的n的需要多少个BJT并联啊？保守估计得几万个吧！OMG。所以这个电路根本无法work。

为了实现上述得两个假设，所以我们做了如下改动。

假设-1： Vo1=Vo2，我们加入一个放大器，使得Vo1与Vo2分别作为放大器的输入，而放大器的输出通过两个相同的电阻(RL)给Vo1和Vo2供电，所以就保证了Vo1和Vo2相等了。

假设-2：Ln(n)=17.2，我们可以增加Vo2上面的电阻，来使得I*R1的电压变小，从而降低Ln(n)。如下图电路，Vout=Vbe2+VT*ln(n) * (1+R1/RL)。所以原来的Ln(n)就变成了Ln(n)*(1+R1/RL)=17.2了，如果我们选择了R1/RL=4，则n=31。如果我们按照经典的九宫格BJT的bandgap设计的话，则n=8，则需要选择R1/RL=7~8了。

OK了吧？



好吧，带隙基准的原理就这些了。但是还有个问题是我们讲的电路都是工作状态下的，但是如果是从关闭状态到工作状态的过度呢？这个电路根本无法启动。所以还需要一个启动电路来解决“简并”偏置点的问题。而且这个启动电路必须满足能开启电路，但同时又要满足启动了之后自身要关闭。大家参考拉扎维的书P312。

终于BGR带隙基准电压已经讲完了，我是FAB的人，当然的研究我们process需要注意的东西了。细心的同学一定发现了我前面讲了很多左右要一样的东西，比如RL，还有Q1和Q2两个BJT等等，所以电阻的mismatch以及Q1和Q2的mismatch就很重要了，当然这些都可以从design或者process上规避的，还好BJT的mismatch一般就是发射极Area的matching，不像MOSFET还有Charging的mismatch，烦死了。

带隙基准的主要参数有哪些？

1）精度：就是输出与标准的误差，用百分比表示。

2) 温度系数(TC)：这没什么好说的，目的就是温度无关。所以肯定越小越好，TC=[(VREFmax-VREFmin)/VREFavg] * [1/(Tmax-Tmin)]，单位是ppm/K。

3) 线性调整率 (LNR): 也叫电源调整率，电源电压变化对输出基准电压变化，越小越好咯。LNR=Vref/Vdd (直流下, DC)。

4) 电源抑制比(PSRR: Power Supply Rejection Ratio)：小信号下抗电源电压干扰的能力，PSRR=Vref/Vdd (瞬态下,f)，单位是分贝(dB)。

5) 噪声：后面我会单独将噪声问题，这里大家只要记住输出电压的噪声，主要包含高频热噪声以及低频flicker噪声，模拟电路的低频噪声是非常非常非常重要的性能指标。所以仿真的时候务必要做直流和也要做瞬态仿真，确保寄生电容以及其他简并点等问题。

6) 功耗: 对于MEMS以及便携产品来讲，这个指标自然越来越重要了。

7) 启动时间：书本上都叫建立时间，也许是翻译的太直白了吧。指的是电源上电到输出稳定电压的时间。对于现在微小化精细化的MEMS等产品，这个指标会变得更加重要了。

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