水声定位算法之一ESPRIT算法

特征结构法是阵列信号处理技术中具有里程碑意义的一类算法。Schmidt提出的多重信号分类算法(MUSIC)[8]就是这一类算法经典代表。...





特征结构法是阵列信号处理技术中具有里程碑意义的一类算法。Schmidt提出的多重信号分类算法(MUSIC)[8]就是这一类算法经典代表。这种方法改善了常规波束形成算法瑞利限制，能够得到很好的空间分辨性能，且有很高的方位估计精度以及很低的旁瓣。与经典的MUSIC算法相比，Roy和Kaioath提出的新的特征结构类算法，即信号参数估计旋转不变子空间算法(ESPRIT)运算量小且不需要谱峰搜索，提高了运算时间。该算法基本思想是：假设存在两个完全相同的阵列，且两个阵列的间距已知。当两个阵列接收同一个信号源时，两个阵列的输出仅存在一个相位差。假设第一个阵列的接收数据为X1，第二个阵列的接收数据X2，则两个阵列的接收数据模型可以表示为如下所示：



式中，N为信源数，阵列1和阵列2的导向矢量分别为

则这两个阵列的导向矢量有如下关系：

满足下式：式中，d为阵元间距，λ为等效波长，对角阵Φ含有信源方位信息，只要求得两个子阵间的旋转不变关系Φ，即可求解信源方向。

合并(1) 和(2)的阵列模型，可以得到一个组合阵列模型：由上式可得数据矩阵X的协方差矩阵Rr，对上式所得的Rx进行特征值分解，可得下式由协方差矩阵分解得到的信号子空间等于信号源的导向矢量张成的子空间，所以，有且只有一个非奇异矩阵T满足下式：在两个阵列下，上述结构均得到满足，如下所示根据上面公式，可得：本节算法的基本思路就是根据(3-17)式所示的两个阵列接收数据的信号子空间之间的旋转不变性的特点求解信号源入射方位信息。

在本文的阵列模型下求得的阵列导向矢量阵AV为满秩矩阵，则由式(10)可转换成如下所示：根据式(11)可知，矩阵Φ等于由矩阵ψ特征值组成的对角阵，矩阵T的各列由矩阵ψ的特征矢量组成。

计算矩阵ψ的特征值，利用式(3)解矩阵ψ即可得到信号源的入射方位。

解矩阵ψ的方法有最小二乘法(LS) 、总体最小二乘法(TLS)以及结构最小二乘法等几种常用算法。由文献[1]中介绍的最小二乘法（LS），在噪声条件下，基于最小二乘法的估计都是有偏的，因此本论文采用总体最小二乘ESPRIT算法。

总体最小二乘TLS算法基本原理是寻找扰动范数的平方△Us1和△Us2并保持最小，同时扰动Us1和Us2，用以同时矫正Us1和Us2中噪声干扰带来的影响。构建一个矩阵
，寻找一个与Us12正交的2N×m的酉矩阵F，则F张成的空间与Us1或Us2列矢量张成的空间正交，可从UHs12Us12的特征分解中得到。其中，
是由特征值组成的对角矩阵；E是由特征矢量构成的矩阵，如下所示：为了使上述条件得到满足，设计一个酉矩阵F如下所示令则有上式说明Ψ的特征值由矩阵Φ的对角线元素组成

既通过对ΨTLS进行特征分解其中ui和ei分别是ΨTLS的N个特征值和特征矢量，可得到其对应的N个信号源方位信息，由上式得仿真实验：MUSIC和ESPRIT算法性能的比较

假设在8元均匀矢量水听器线列阵下接收双目标信号源,入射水平角分别为θ1=15°、θ2=35°；信号的采样率为fs=20000Hz；窄带中心频率f为2000Hz；声速取1500m/s；快拍数为1024。设阵元间距和两个子阵间距均为入射信号波长的一半。

(1)令快拍数为500，信噪比为10dB，阵元数取值范围为2到30，观察两个算法的运算时间与阵元数的关系图，仿真图1(a)。

(2)令阵元数为20，信噪比为10dB，改变快拍数，观察两个算法分别在快拍数从0到1000范围下的运算时间，如图1(b)。通过图1(a)可知，随着阵元数的增加，MUSIC算法的运算时间呈指数增长，而ESPRIT算法的运算时间远小于MUSIC算法且增长较慢；由图1(b)观察可知，随着快拍数的增大，ESPRIT运算时间比MUSIC算法短。这是因为ESPRIT算法不需要进行谱峰搜索，具有计算量小的优点。

参考文献：

[1] 王永良，陈辉，彭应宁，万群.空间谱估计理论与算法[M].北京：清华大学出版社，2004年：1-3页

    关注 海洋信息