奥数——数独矩阵（二）

奥数——数独矩阵（二）例4将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和...

奥数——数独矩阵（二）

例4将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条

证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k。如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。所以有

九数之和+中心方格中的数×3=4k，

3k+中心方格中的数×3=4k，

注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用。

在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方。例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。

分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178。两个质数之和为178的共有六组：

5+173＝11＋167

＝29＋149＝41＋137

＝47+131＝71+107。

经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。

考练：

1.将九个连续自然数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66。

2.将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方。

3.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方。

4.在下列各图空着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。