奥数知识点讲解第4期

第4期等差数列求和...





第4期：等差数列求和

德国人高斯是数学发展史上有很大影响力的伟大数学家之一，幼年时代就聪明过人。高斯10岁的时候，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为　（1+100）×100÷2＝5050。

后来人们把这种简便算法称作高斯求和公式，它不仅适用于连续整数相加的求和，也适用于“等差数列”的求和问题。具体的方法是：

等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2

这个公式是怎么来的呢？

我们可以用一种通俗易懂的方法来理解高斯求和公式，举个例子还是: 1+2+…+99, 这时我们可以把式子倒过来再写一遍，即99+98+…+1，两个式子的和是一样的。这时我们可以把两个式子同样位置的数两两相加，会发现两个式子的第一个数分别是1和99，第二个数分别是2和98，依次到最后一个数分别是99和1，它们的和都是100（等于首项＋末项），一共是99对数（等于项数），这样两个式子相加的总和就是：（首项＋末项）×项数，而一个式子的和就是总和的一半，要除以2，就等于（首项＋末项）×项数÷2 。第10题：

（1）1＋2＋3＋…＋1999 =            。

（2）11＋12＋13＋…＋31＝            。

（3）3＋7＋11＋…＋99＝            。

（4）盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

（5）时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？

（6）求100以内除以3余2的所有数的和。

（7）在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？详细讲解：

1、（1+1999）×1999÷2 = 1999000

2、（11+31）×21÷2 = 441  （项数：31-11+1=21）

3、（3+99）×25÷2 = 1275 （项数：（99-3）÷4+1=25）

4、第一次，1个变3个，增加2个。第二次，2个变6个，增加4个。。。。第十次，10个变30个，增加20个，增加的球数是一个等差数列，总数是：（2+20）×10÷2 = 110个，加原来3个，共113个。

5、时钟一点钟敲1下，两点敲2下。。。到十二点敲12个，是一个等差数列，一昼夜是两个12小时，再加上每半点钟也敲一下，一昼夜共敲打： （1+12）×12÷2×2+24 = 180 （次）

6、100以内除以3余2的所有数：2，5，8…98，是一个等差数列，总和是：（2+98）×33÷2 = 1650

7、在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个?

十位数是1：只有10 ---1个

十位数是2：有20，21---2个

。。。

十位数是9：有90，91，92…98 ---9个

所以共有（1+9）×9÷2 =45 个

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