【相遇问题】

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教学目标：基础目标：

借助“相遇问题”、“追及问题”中的基本数量关系，解决不同时、不同地出发的复杂生活情境。

核心目标：

沟通直线相遇、追及和弧线相遇、追及之间的联系及区别。

拓展性目标：

在解决以上问题的基础上提出新的问题，并尝试解决。第一板块：自我挑战，遭遇问题

课前挑战单：

1﹑甲乙二人从相距36千米的两地相向而行。甲速度为每小时3千米，乙速度为每小时4千米，若乙先出发2小时，甲才出发，则甲经过几小时后与乙相遇？

（1）请写出题中的等量关系式；

（2）结合你找到的等量关系式解答此题。

2﹑小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸发现他数学书没带，于是骑自行车去追，爸爸骑车每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？

（1）请写出题中的等量关系式；

（2）结合你找到的等量关系式解答此题；

（3）你还能提出什么问题？并尝试解答。

3﹑甲乙两运动员在400M的圆形跑道上赛跑,已知甲的速度是8米／秒，乙的速度是6米／秒,他们的速度保持不变。

（1）如果甲、乙两人相距8米，同时向相反的方向跑，多长时间能够第一次相遇?第二次？第三次呢？……第n次呢？

（2）如果甲、乙两人在同一地点，向相反方向跑，如果乙先出发2秒，甲再出发，甲出发后多长时间两人第一次相遇？第二次呢？第三次呢？……第n次呢？

（3）如果甲、乙两人相距8米，同时向同一方向跑，多长时间甲第一次追上乙?第二次追上需要多长时间？第三次呢？……第n次呢？

（4）如果甲、乙两人在同一地点，向同一方向跑，如果乙先出发2秒，甲再出发，甲出发后多长时间两人第一次相遇？第二次呢？第三次呢？……第n次呢？

【分析】第1题的“直线追及问题”全班只有1名同学有问题。说明孩子们的直线追及模型基本建立。第2题的“同地不同时追及问题”全班有15人出现错误。说明这些孩子追及问题的基本等量关系没能真正建构。第3题的第一次相遇、第一次追及没有错误。第二次、第三次…的相遇、追及问题很大。原因有两个，1、孩子对“从第一次相遇到第二次相遇的行走路线”、“从第一次追上到第二次追上的行走路线”不清楚。2、相遇、追及的基本等量关系式模型没能真正建构起来。所以本节课的任务是让孩子真正建立相遇、追及的基本等量关系式模型。动手描出第一次相遇到第二次相遇的行走路线，最好能让孩子亲身体会。

第二板块聚焦问题，展开对话1、同地不同时出发直线追及问题



师：通过课前挑战单发现有些同学对于题上描述的情景不太理解。大家觉得爸爸在追小明的时候，小明的状态应该是怎样的？

生1：静止的，停止不前的。

生2：我觉得应该还在往前走，因为题上说爸爸发现他的数学书没带。没有提小明发现数学书没带。

师：你同意他的观点吗？

（学生陷入思考，最后达成共识。小明还在往前。)

师：大家重新画出线段图。

学生动手在练习本上画。

师：幻灯片演示线段图。

全班达成共识。

师：现在我出示两名同学的等量关系式，大家看看有什么问题?

生1：我觉得第一个等量关系说的不清楚。小明的路有两种情况，爸爸发现数学书没带之前走过的路，和之后走过的路。而她说的小明的路到底是那种情况不清晰。

生2：他这样列等量关系会给列方程带来隐患。而第二个等量关系就清晰多了。

师：大家认可他们两的说法吗？（全班达成共识）

师：请同学们根据上面的等量关系列出方程不用解。

师：还有同学列出了这样的等量关系。



生3：其实这两个等量关系都是一类，我认可。

师：请根据等量关系列出方程不用解。

2、拓展延伸



师：你觉得樊佩佗提出的的问题合理吗？

生1：我觉得挺好的啊？

生2：没有问题啊？

师：我觉得有问题。如果小明家到学校的路程是1600米，当爸爸追小明的时候小明已经走了1500米。爸爸还没追上小明，小明已经到学校了啊？

生3：噢！原来是这样啊！也就是说爸爸不能发现小明数学书没带的时间太长。

生4：那如果小明家到学校的路程足够长，20分钟就行啊！

师：说的非常好。生活中家到学校的距离都是不会太长的，要不小明也不会步行上学了。这里的N是会有大小限制的。

第三板块聚焦问题，展开对话1、同时不同地出发弧线相遇问题



师：通过课前挑战单我发现同学们对于从出发到第二次相遇时甲、乙总共走过的路程不清楚。



师：你认为第一次相遇和第二次相遇甲、乙走的总路程一样吗？请第图片的主人说一说。

生1：一样啊！

生2：相同的啊！

师：大家都认为一样的？接下来用红笔描出从出发到第一次相遇的路程。

生：我们描好了。

师：能告诉我是多少米吗？

生：392米。

师：再用黑笔描出第一次相遇到第二次相遇的路程。

生：描好了。

师：能告诉我是多少吗？

生：400米。原来和第一次不一样啊！

师：那你能帮生2修改她的方程吗？

生2：我自己就能，8x＋6x=392＋400

生1：也可以是8x＋6x=400×2-8

师：你同意他们的说法吗？

生：同意。

师：第二次相遇到第三次相遇甲、乙共走了多少米？

生：也是400米。

师：那第四次相遇、第五次相遇......呢？

生：都是400米。

师：那第n次相遇用多长时间？你能用含有字母的式子表示吗？请在练习本上写出你的结论。

全班达成共识：（400n-8）÷14

师：现在甲、乙两人从出发到第20次相遇，用了多长时间？请大家在练习本上解答。（2名学生板演）

师：这次你用的是什么方法？方程吗？

生1：是。

生2：我用的是（400n-8）÷14，刚才我们已经得出了这类问题的模型。

师：以后遇到这类问题可以用方程也可以用刚才得到的模型。方程的优点是当忘了模型方程就还可以解决这个问题。模型的优点是快，节省时间。各人看情况灵活运用。

2、同地不同时出发弧线相遇问题

聚焦问题，展开对话



师：请同学们找出上述三张图片存在的问题。

生1：其实可以把这个问题转化成上个问题，如果乙先出发2秒也就是说甲、乙两人相距12米，那就和上个问题属于同类行了。第二次相遇和第一相遇的路程不一样，而两人的速度不变。所以两次的时间也不一样。

生2：第二次相遇的时间不能用第一次的时间乘2。

生3：第二次、第三次......用的时间一样，第一次不和它们一样。

师：你认同他们的观点吗？（达成共识）

3、同时不同地出发弧线追及问题

聚焦问题，展开对话



师：你认为甲从出发到第一次追上乙，甲多走的路程和第二次甲追上乙，甲多走的路程一样吗？

生1：一样。

生2：一样。

师：真的一样吗？在自己的练习本上用黑笔画出第一次甲追上乙多走的路程。

生：画好了。

师：用红笔画出第一次追上后甲、乙走的路程。再用蓝色彩笔画出甲比乙多走的路程。

（这里有些学生画不出来，需要老师板演。）

生1：和第一次多走的不一样啊！

生2：第一次多走了8米，第二次多走了一圈也就是400米。

师：你认同吗？可以在练习本上再画一画。（全班达成共识）

师：现在能帮图片3的主人修改一下方程吗？

生1：这里用的还是追及问题的等量关系模型。甲的路程-乙的路程=多走的路程，只不过第一次和第二次多走的不一样。

生2:8x-6x=8+400

师|：第三次追上多走多少米？

生：还是400米。

师：第四次追上、第五次追上......呢？

生：还是400米。

师：第n次追上需要多长时间？你能表示出来吗？请在练习本上完成。

全班达成共识：400×（n-1）+8/2

师：现在甲第50次追上乙需要多长时间？在练习本上写出结果。

生：做完了。

师：能说说你是怎样解决的吗？

生1：用刚才的400×（n-1）+8/2模型就可以解决。因为这样速度快。

生2：我用的方程我觉得方程思路清晰。

师：两种方法都行，你觉得那种适合你就用那种。

4、同地不同时出发弧线追及问题

聚焦问题，展开对话



师：你能找出这两幅图片中存在的问题？

生1：这个问题转化后其实就和上个类型一样了。“乙先出发2秒，甲再出发。”那么开始时甲、乙就相距12米了。

生2：甲第一次追上乙比乙多跑了12米，以后每次追上乙都比甲都比乙多跑400米。

生3：转化后完全一样啊！

生4：图片1的错误是，第一次甲比乙多跑的路程和第二次多跑的路程不一样，那时间当然不会一样。所以不能用6乘2，应该分开算。

生5：图片2第n次追上甲比乙多跑的路程应该是12加（n-1）×400

师：大家觉得他们说的有道理吗？

师：那你能表示出第n次追上的时间吗？

生：能

全班达成共识400×（n-1）+12/2

教学反思：

这次讲课对我的触动很大。从课前挑战单的设计、收集、分析、整理，再到课程的实施，最后是王校的点评。都是一次全新的挑战，一种新课程模型的真正建立，真是不容易。

对于方程思想以前不太重视。通过这次和孩子们一起经历、探索相遇问题，发现方程可以把孩子的思维过程完整的呈现出来。孩子们在这个过程中思维有问题的地方老师可以做到心中有数。这样的教学才符合儿童的认知结构，这样的教学模型才是最高效的。反观以前的教学总是建立在经验之上，老师自己认为孩子思路不清的地方课堂上就会多讲。教师认为孩子清楚的地方孩子就一定清楚吗，认为不清的地方就一定不清吗？想起新课标的一句话“让孩子做课堂的主人，教师只是协助者“。协助孩子在原有的”内在认识“上发展、建立新的”认知结构”这才是数学教师的职责。

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