怎样学好数学系列 （第一期）

数学之所以有广泛的应用也正是由于它的抽象，即它的结论不是面对某个具体的问题和应用，而是适合所有满足定理条件的问题和应用。。。关注【微信号：sate800】...







今天谈谈数学中的代换（substitution)技巧。

数学中的概念和定理都是抽象以后的结果（以后在谈数学的抽象）。数学之所以有广泛的应用也正是由于它的抽象，即它的结论不是面对某个具体的问题和应用，而是适合所有满足定理条件的问题和应用。因此才有了数学在物理中的应用，在力学中的应用，等等。是不是太抽象了？





举个具体的例子。大家知道平方差公式 （difference of squares）

x^2-y^2=(x+y)(x-y)

在这个公式里，x 和y 就是抽象出来的，它们是两个变量，不代表任何具体的东西。而数学的厉害就在于x 和 y可以代换成任何东西，因而有了这个公式的各种应用。 是不是不太抽象了？





至此，大家可以理解代换的重要性了。代换能使我们举一反三，知此即知彼。基于多年教学经验，今天重点谈谈如何正确的代换（substitution)。

 

我把代换过程形象的描述成

（1）挖坑。 首先在原来的公式里把将被替换的变量挖掉，这样就出现了一个坑。记住只挖掉被    替换的变量，其它不能动。

（2）打包。 将准备替换的式子打包 （加括号）。这一步特别注意，是出错最多的地方。

（3）填坑。 用打包后（代括号）的式子把前面挖的坑填上。

至此，我们正确的完成了代换（substitution)。



下面我们做个练习。

已知  f(a) = 3a+1, 计算 f(3a+1).

这个练习需要把a换成 3a+1。  上面介绍的只是为了大家便于理解正确代换过程。数学上，我们不需要挖坑，打包，填坑。

f(3a+1) =3(3a+1)+1

=9a+4

常见的错误： f(3a+1) =3X3a+1+1

=9a+2

错在哪？就是没打包。 3a+1要加括号。

代换在数学中无处不在，是学好数学最重要的技巧。
















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