实验模态分析方法：怎样从FRF中得到模态振型？

我还是不理解曲线拟合…你是怎样从FRFs中得到模态振型的？嗯…那我们看看能否澄清这个问题。...

我还是不理解曲线拟合… 你是怎样从FRFs中得到模态振型的？

嗯…那我们看看能否澄清这个问题。

到目前为止，对大多数人来讲，模态参数估计（通常称为曲线拟合）可能是试验模态分析中最难以理解的部分。我知道我可以写出所有的公式来解释这点。但是，我可能会烦死你。我不但必须要写出关于模态参数估计过程的所有公式，而且我也必须指出这些公式建立了留数与模态振型之间的关系。另一方面，留数当然是另一个抽象的概念。（哎呀，我多么希望，人们以前就称它为模态振型，而不是留数，因为，这只会搞得大家一头雾水。）

上次（1999年2月），我们曾经讨论了曲线拟合模型，以及用于估计参数的基本公式，其中一种形式表示如下现在，矩阵[A]中的那些项是留数，是从曲线拟合过程中得到的；我们同时从公式的分母中得到极点，或频率和阻尼。现在，这些留数可以证明与模态振型有关。不必深入到每一步，我们可以得到如下的关系式（将某些项展开）好了，如果我们来观察矩阵的每一列元素，可以看出列元素中包含模态振型，带有某些标量乘数；我们同时也可以看出，因为互易性，各行也包含模态振型。如果我们观察某一列，例如第1列，那么，我们可以看到因此，留数无非是模态振型乘以一个标量因数 — 模态振型在参考点位置的数值u，同时乘以归一常数q。（归一常数q允许模态振型可以用不同的归一常数来表示（单位模态质量，单位长度，等。）

太好了，这样，可能有些公式你能完全理解或领会，也可能不能完全理解或领会。或许解释这个概念的更好办法是借助于一些简单的图形。让我们回过头来看看先前时候讨论过的那个简单平板（1998年1月），同时，也很简单地来解释我们是如何从测量结果中得到模态振型的（这样，你或许可以领会数学可以为我们做什么？）。

现在，我们在平板上进行测量，这样我们共得到6个FRFs — 在4个角以及2个中点位置。从这些测量结果中，我们希望能够确定前两阶模态看起来是什么样子。现在，我们可以观察FRFs的对数幅值，但这不是很有用，因为在这个图上，所有的峰都将是正的。

FRF的虚部是一个包含更多信息的图形。这不但显示了幅值，而且，更重要的是，显示了响应的方向。不去深入研究全部专业的数学内由，我们知道，FRF的虚部的峰值幅度与留数直接相关（同时，留数与模态振型相关）。这个近似公式如下所示通常称这个非常简单的确定模态振型的方法为峰值拾取法，因为我们拾取了FRF的峰值。现在，针对每个测点位置的各个测量结果，我们观察某些峰值。（在所示的所有图形中，幅值的刻度范围从-1到+1，并且短划线是1/2。另外，去掉了频率轴。）现在我们首先主要研究1阶模态，然后再考察2阶模2。

观察1阶模态的测点1的FRF。注意到，这个幅值是0.5，并且是负的。如果我们观察测点2，则我们看到幅值也是0.5，并且也是负的。这意味着，对1阶模态，测点1和测点2按照相同的幅度、相同的方向运动。如果我们观察测点5和测点6，我们可以看到跟测点1和测点2相同的情况。这样一来，我们可以看出测点1、2、5、和6都是按照相同的幅度，相同的方向运动。

此处，要说明的非常重要的一点是，如果我仅仅测量这4个点，那么在我看来，平板的模态振型将是刚体模态（所有4个点按照相同的幅度一起运动）。用于描述系统模态振型的测点太少时，这是个常见的问题。

现在，对于1阶模态来讲，观察测点3。注意到，因为幅值是0.5，且是正的。那么，测点4也是如此这般。因此，我们看到，测点3和测点4具有相同的幅度，并且按照相同的方向一起运动。但是我们也注意到，测点3和测点4是按照与其他测点的相反的方向运动的。现在，尽管我们测量的点不超过6个，但我们开始看到了平板正在变形成一种形式，一种平板弯曲的特征形式。如果我们测量了更多的点，那么我们将会看到一个更加明确的模态振型。

现在，如果我们观察2阶模态，我们可以一步一步来考察，并且观察所有测点，这样，我们将看到的是，测点1和2具有相同的幅度，但是现在它们按相反的方向运动。对于测点5和6，情况也是如此。但是，我们注意到，测点1和5也是按照相反的方向运动；测点2和6同样如此。这样，我们看出，对于模态2，存在某种扭曲或扭转类型的变形形式。如果我们观察测点3和4，我们注意到，这些点具有零值。这是因为测点3和4是平板扭转模态的节点。同样，添加更多点可以更好地确定振型。

所以现在我们可以看出，对于每阶模态的峰值，FRF虚部的峰值与平板模态振型直接相关。不必深细所有的数学内在根由，留数是从曲线拟合过程中提取出来的因项，并且这些留数与平板的模态振型直接相关。为使情况简单起见，已经按照图形方式说明了这一点。

我希望，这个解释有助于澄清关于我们是如何从FRFs中得到模态振型的这个谜团。好好思考一下这个问题，如果你有关于模态分析的如何其他问题，问我好了。

相关说明

Peter Avitabile教授是美国麻省大学洛威尔校区UMass Lowell机械工程系模态分析和控制实验室的主任。模态空间系列文章的英文原文链接：http://sdasl.uml.edu/umlspace/mspace.html。

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