整除（一）

数论之整除，整除规律...



1、整除关系

如果整数a÷整数b所得商为整数，且没有余数

那么称a被b整除，或b整除a

记为：b|a

2、常用整除性质

若a|b，a|c，则a|(b±c)

b被a整除，c被a整除，那么b与c的和（差）被a整除

例、某三位数为7a8被7整除，求a

7a8=700+a×10+8

7a8被7整除，700被7整除，

所以a×10+8被7整除

即两位数a8被7整除

在两位数中只有28被7整除

可见a=2

3、常用整除规律

我们常常会使用一些规律来帮助我们快速判断一个整数的整除性质。

1）被2整除（易用性★★★★★）

个位为偶数（0，2，4，6，8）的数，能被2整除。

如12，3456

2）被3整除（易用性★★★★★）所有数位上的数之和能被3整除的数，能被3整除。

如21（2+1=3，3|3）

13527（1+3+5+2+7=18，3|18）

如果求出的和的数字过大，可以再次使用这个规律，直到能判断位置。

18267549483（1+8+2+6+7+5+4+9+4+8+3=57，5+7=12，3|12）

3）被4整除（易用性★★★★）末2位（十位与个位）的两位数能被4整除的数，能被4整除。

如128（4|28）

738212（4|12）

4）被5整除（易用性★★★★★）个位为0或5的数，能被5整除。

如875，874920

5）被6整除（易用性★★★★★）满足被2整除且被3整除的条件的数，能被6整除。

如1824（个位为4，满足被2整除，1+8+2+4=15，3|15，满足被3整除）

7231548（个位为8，满足被2整除，7+2+3+1+5+4+8=30，3|30）

6）被7整除方法一（易用性★★★）

将整数的个位截去，再用余下的数减去该个位数的 2倍，所得差是7的倍数，那么原数能被7整除。

这个过程常被称为：截尾、倍大、相减、验差

如果差不方便判断，就需要继续上述过程，直到能清楚判断为止。

如6139（613-9×2=595，59-5×2=49，7|49）

方法二（易用性★★）

将整数的末三位数与末三位之前的数字组成的数之差（以大减小）能被7整除，那么这个数就能被7整除。

若差超过4位数，则可以再次使用。

如86415（415-86=329，7|329）

62619424（62619-424=62195，195-62=133，7|133）

缺点：

方法只适用4位和4位以上的数。方法中的需要判断差经常为3位数。当得到3位数时只能用除法来判断。

7）被8整除（易用性★★★）末3位被8整除的数，能被8整除。

如43000（8|0）

12456（8|456）

8）被9整除（易用性★★★★）所有数位上的数之和能被9整除的数，能被9整除。

方法类似“被3整除”

如7245（7+2+4+5=18，9|18）

182754（1+8+2+7+5+4=27，9|27）

9）被11整除方法一（易用性★★★）

将整数的个位截去，再用余下的数减去该个位数，所得差能被11整除，那么原数能被11整除。

类似“被7整除”的方法一，不同的是，不是减去个位的2倍，而是1倍。

如：59653（5965-3=5962，596-2=594，59-4=55，11|55）

方法二（易用性★★★）

将整数的末三位数与末三位之前的数字组成的数之差（以大减小）能被11整除，那么这个数就能被11整除。

类似“被7整除”的“方法二”

如501853（853-501=352，11|352）

5760524（5760-524=5236，236-5=231，11|231）

方法三（易用性★★★★）

求出该数的奇数位数字之和与偶数位数字之和，若两和之差为能被11整除，那么该数能被11整除。

如5760524（奇数位数之和=5+6+5+4=20，偶数位数之和=7+0+2=9，20-9=11，11|11）

方法四（易用性★★★★）

将整数从右向左，分割成两位数，将所有两位数相加，如果和能被11整除，则该数能被11整除。

如5760524（分割成24、05、76、5，24+5+76+5=110，110分割成10、1，10+1=11，11|11）

10）被12整除（易用性★★★）因为12=3×4，

所以被3整除并且被4整除的数，能被12整除。

类似“被6整除”

11）被13整除方法一（易用性★★★）

将整数的末三位数与末三位之前的数字组成的数之差（以大减小）能被13整除，那么这个数就能被13整除。

如69212（212-69=143，13|143）

10706111（10706-111=10595，595-10=585，13|585）

方法二（易用性★★）

将整数的个位截去，再用余下的数加上该个位数的4倍，所得差能被13整除，那么原数能被13整除。

如69212（6921+2×4=6929，692+9×4=728，72+8×4=104，10+4×4=26，13|26）

12）被111、1111、111…1整除（易用性★★★★）以111…1为例，如果有n个1，

将整数从右向左，每n位隔出一个数，然后将所有数相加，和被111…1整除，那么这个数就被111…1整除。如果和较大，可以反复使用。

类似“11”的方法四

如判断6314924被1111整除，

从右向左每4位隔出一个数4924、631，4924+631=5555，1111|5555

所以6314924能被1111整除。

13）被25整除（易用性★★★★★）整数末两位能被25整除，即末两位是00、25、50、75的数，能被25整除

如125，450，300，275

14）被125整除（易用性★★★★★）整数末三位能被125整除，即三位是000、125、250、375、500、625、750、875的数，能被125整除

如4125，6625，39875

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